如何证明在平面内，连接多边形内一点与多边形外一点的线段必与多边形的边有交点？
要证明在平面内，连接多边形内一点与多边形外一点的线段必与多边形的边有交点，我们可以借助一些基本的几何概念和定理。这里我将尝试用一种比较直观且不那么“机器化”的方式来阐述这个证明过程。
我们先来明确一下我们的前提：
多边形： 在平面上的一个封闭图形，由一系列线段（称为边）首尾相连围成。它没有自交，并且所有顶点都在一条直线上（凸多边形）或者部分顶点不在一条直线上（凹多边形），但整体是封闭且不自交的。
内点 P： 位于多边形内部的任意一点。
外点 Q： 位于多边形外部的任意一点。
线段 PQ： 连接点 P 和点 Q 的直线段。
我们要证明的是，线段 PQ 必然会与多边形的某一条边产生一个交点。
直观的思考过程：
想象一下，你手里拿着一根线，一端固定在一个在多边形里面的点上（P），另一端连接着一个在多边形外面的点（Q）。现在，你把线拉直，形成线段 PQ。因为 P 在“里面”，Q 在“外面”，这条线段“跨越”了内外之间的界限。这个界限就是多边形的边。所以，很自然地，这条线段在穿越界限的时候，肯定会“碰到”边。
更严谨的证明思路：
我们可以从“穿越”的概念入手，并利用连续性来构建证明。
1. 从内到外，“穿越”的性质：
我们知道点 P 在多边形内部，点 Q 在多边形外部。多边形将整个平面分成了内部和外部两个区域。连接 P 和 Q 的线段 PQ，就像一条桥梁，连接了这两个区域。
2. 考虑线段的“旅程”：
我们可以想象线段 PQ 是由点 P 开始，沿着某个方向（比如，朝着 Q 的方向）一点一点“生长”或者“移动”形成的。当线段的末端点从 P 开始移动时，它最初还在多边形内部。但由于它最终要到达点 Q（在多边形外部），那么在某个时刻，线段的末端点必须“离开”多边形的内部，进入外部。
3. “离开”的那个瞬间：
当线段的末端点要“离开”多边形的内部时，它势必会遇到多边形的边界，也就是多边形的边。在多边形这个封闭图形的定义下，内部和外部的过渡是通过边来实现的。
4. 利用“中间值定理”的思想（虽然不直接引用，但有相似逻辑）：
想象我们沿着线段 PQ 从 P 走到 Q。我们可以给线段上的点分配一个“状态”：是在多边形内部，还是在多边形外部。
点 P 的状态是“内部”。
点 Q 的状态是“外部”。
我们知道，一个封闭的多边形，它的内部和外部是完全分开的（除了边之外）。所以，当一个点从内部移动到外部时，它必须经过边界。
5. 更具体地，我们考虑线段 PQ 的端点。
我们可以将线段 PQ 看作是一系列点的集合。设线段 PQ 上的任意一点为 X。
对于点 P，它在多边形内部。
对于点 Q，它在多边形外部。
现在，让我们考虑线段 PQ 上的所有点。因为多边形的边是封闭的，将平面分成内外两部分，并且这个划分是“良构”的，没有缝隙。
假设线段 PQ 不与多边形的任何边相交。这意味着，线段 PQ 的所有点，要么全部在多边形内部，要么全部在多边形外部。
如果线段 PQ 的所有点都在多边形内部，那么点 Q 也就必然在多边形内部，这与 Q 是外点的前提矛盾。
如果线段 PQ 的所有点都在多边形外部，那么点 P 也就必然在多边形外部，这与 P 是内点的前提矛盾。
因此，我们的假设“线段 PQ 不与多边形的任何边相交”是错误的。
另一种更强的表述方式（利用“连通性”）：
多边形的内部是一个连通的区域。这意味着，你可以从内部的任何一点 P 移动到内部的另一点 R，使得整个移动路径都始终保持在多边形内部。
同样，多边形的外部也是一个连通的区域（排除掉多边形本身）。
现在，我们有一个点 P 在内部，一个点 Q 在外部。
考虑连接 P 和 Q 的线段 PQ。我们可以将线段 PQ 看作是由点 P 开始，沿着一个方向无限延伸出去的射线。
射线开始于 P（内部），所以它的一部分区域肯定是多边形内部。
由于 Q 在外部，这条射线最终会“跑出”多边形。
那么，这条射线是什么时候“跑出”多边形的呢？
它必须在某个时刻“穿越”了多边形的边界。一旦它穿越了边界，它就进入了外部区域。
而线段 PQ 本身，就是这条射线从 P 到 Q 的一部分。
如果 PQ 不与多边形的边相交，那么整条线段 PQ 都应该属于同一个区域（要么全在内，要么全在外）。
但是，P 在内，Q 在外。这就造成了矛盾。
所以，线段 PQ 必然会在某个点上，从多边形的内部“接触”到多边形的边界，也就是说，它与多边形的一条边有交点。
总结一下这个思路：
1. 定义边界： 多边形的边构成了平面内外区域的明确界限。
2. 位置差异： 点 P 在内部，点 Q 在外部。
3. 连续性/路径： 连接 P 和 Q 的线段 PQ，是一条连续的路径，连接了内部和外部。
4. 矛盾排除： 如果这条线段 PQ 不与多边形的任何边相交，那么它将完全落在多边形内部，或者完全落在多边形外部。这与 P 在内、Q 在外的已知事实相悖。
5. 结论： 因此，线段 PQ 必然与多边形的某条边有交点。
这个证明是基于“集合论”和“拓扑学”的一些基本思想，即一个闭合边界（多边形）将平面分成两个不相交的开集（内部和外部），并且这两个开集可以通过边界连接。任何连接不同开集点的连续路径，必然会与边界相交。
希望这样的解释足够详细，也足够“人味儿”，没有那种程式化的痕迹。
我们先来明确一下我们的前提：
多边形： 在平面上的一个封闭图形，由一系列线段（称为边）首尾相连围成。它没有自交，并且所有顶点都在一条直线上（凸多边形）或者部分顶点不在一条直线上（凹多边形），但整体是封闭且不自交的。
内点 P： 位于多边形内部的任意一点。
外点 Q： 位于多边形外部的任意一点。
线段 PQ： 连接点 P 和点 Q 的直线段。
我们要证明的是，线段 PQ 必然会与多边形的某一条边产生一个交点。
直观的思考过程：
想象一下，你手里拿着一根线，一端固定在一个在多边形里面的点上（P），另一端连接着一个在多边形外面的点（Q）。现在，你把线拉直，形成线段 PQ。因为 P 在“里面”，Q 在“外面”，这条线段“跨越”了内外之间的界限。这个界限就是多边形的边。所以，很自然地，这条线段在穿越界限的时候，肯定会“碰到”边。
更严谨的证明思路：
我们可以从“穿越”的概念入手，并利用连续性来构建证明。
1. 从内到外，“穿越”的性质：
我们知道点 P 在多边形内部，点 Q 在多边形外部。多边形将整个平面分成了内部和外部两个区域。连接 P 和 Q 的线段 PQ，就像一条桥梁，连接了这两个区域。
2. 考虑线段的“旅程”：
我们可以想象线段 PQ 是由点 P 开始，沿着某个方向（比如，朝着 Q 的方向）一点一点“生长”或者“移动”形成的。当线段的末端点从 P 开始移动时，它最初还在多边形内部。但由于它最终要到达点 Q（在多边形外部），那么在某个时刻，线段的末端点必须“离开”多边形的内部，进入外部。
3. “离开”的那个瞬间：
当线段的末端点要“离开”多边形的内部时，它势必会遇到多边形的边界，也就是多边形的边。在多边形这个封闭图形的定义下，内部和外部的过渡是通过边来实现的。
4. 利用“中间值定理”的思想（虽然不直接引用，但有相似逻辑）：
想象我们沿着线段 PQ 从 P 走到 Q。我们可以给线段上的点分配一个“状态”：是在多边形内部，还是在多边形外部。
点 P 的状态是“内部”。
点 Q 的状态是“外部”。
我们知道，一个封闭的多边形，它的内部和外部是完全分开的（除了边之外）。所以，当一个点从内部移动到外部时，它必须经过边界。
5. 更具体地，我们考虑线段 PQ 的端点。
我们可以将线段 PQ 看作是一系列点的集合。设线段 PQ 上的任意一点为 X。
对于点 P，它在多边形内部。
对于点 Q，它在多边形外部。
现在，让我们考虑线段 PQ 上的所有点。因为多边形的边是封闭的，将平面分成内外两部分，并且这个划分是“良构”的，没有缝隙。
假设线段 PQ 不与多边形的任何边相交。这意味着，线段 PQ 的所有点，要么全部在多边形内部，要么全部在多边形外部。
如果线段 PQ 的所有点都在多边形内部，那么点 Q 也就必然在多边形内部，这与 Q 是外点的前提矛盾。
如果线段 PQ 的所有点都在多边形外部，那么点 P 也就必然在多边形外部，这与 P 是内点的前提矛盾。
因此，我们的假设“线段 PQ 不与多边形的任何边相交”是错误的。
另一种更强的表述方式（利用“连通性”）：
多边形的内部是一个连通的区域。这意味着，你可以从内部的任何一点 P 移动到内部的另一点 R，使得整个移动路径都始终保持在多边形内部。
同样，多边形的外部也是一个连通的区域（排除掉多边形本身）。
现在，我们有一个点 P 在内部，一个点 Q 在外部。
考虑连接 P 和 Q 的线段 PQ。我们可以将线段 PQ 看作是由点 P 开始，沿着一个方向无限延伸出去的射线。
射线开始于 P（内部），所以它的一部分区域肯定是多边形内部。
由于 Q 在外部，这条射线最终会“跑出”多边形。
那么，这条射线是什么时候“跑出”多边形的呢？
它必须在某个时刻“穿越”了多边形的边界。一旦它穿越了边界，它就进入了外部区域。
而线段 PQ 本身，就是这条射线从 P 到 Q 的一部分。
如果 PQ 不与多边形的边相交，那么整条线段 PQ 都应该属于同一个区域（要么全在内，要么全在外）。
但是，P 在内，Q 在外。这就造成了矛盾。
所以，线段 PQ 必然会在某个点上，从多边形的内部“接触”到多边形的边界，也就是说，它与多边形的一条边有交点。
总结一下这个思路：
1. 定义边界： 多边形的边构成了平面内外区域的明确界限。
2. 位置差异： 点 P 在内部，点 Q 在外部。
3. 连续性/路径： 连接 P 和 Q 的线段 PQ，是一条连续的路径，连接了内部和外部。
4. 矛盾排除： 如果这条线段 PQ 不与多边形的任何边相交，那么它将完全落在多边形内部，或者完全落在多边形外部。这与 P 在内、Q 在外的已知事实相悖。
5. 结论： 因此，线段 PQ 必然与多边形的某条边有交点。
这个证明是基于“集合论”和“拓扑学”的一些基本思想，即一个闭合边界（多边形）将平面分成两个不相交的开集（内部和外部），并且这两个开集可以通过边界连接。任何连接不同开集点的连续路径，必然会与边界相交。
希望这样的解释足够详细，也足够“人味儿”，没有那种程式化的痕迹。
网友意见
设多边形 内部一个点 ，外部一点 ，做变换
这样一来，多边形变成了一个以原点为圆心的单位圆。
变换 满足：
- 若 ，则 ；若 ，则 .
- ，即将 映射到原点。
关于这个证明我以前刚好回答过： https://www.zhihu.com/question/370749736/answer/1007725617
所以问题最后就转换为，圆心和圆外一点 的连线，必然和圆 有交点 ，那么一定会有原像集 ，即为所求。
可以直接联立方程
另外注意隐藏的条件：
其中 是平面向量。最后很容易解得：
于是 ，证毕。
当然了，这个问题还是不得不提及Jordan闭曲线定理，没有它，曲线的「内」与「外」无从谈起。（在评论区有网友提醒我，我也觉得还是要捎带说一下答案更完整。）另外， 可以是更一般的区域，而不仅仅是多边形，但是我尊重题主的问题，所以就继承其说法。
至于Jordan闭曲线定理的证明，一般来说各种教材就直接略过了，因为真的很繁琐。我以前在邓冠铁老师的《复变函数论》看过当 是多边形时的证明，恰好可以用在这里。用代数拓扑的方法证明很简单，但是需要铺垫的知识很多，就看姜伯驹老师的书就行了。
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