迹的几何意义是什么？
从最朴素的理解出发：运动与痕迹
试想一下，你在纸上用笔尖描摹一个圆。你的笔尖在移动，而纸上出现的那个完美的闭合曲线，就是你笔尖移动过程中留下的“迹”。这个“迹”完美地记录了笔尖的所有位置信息。
再比如，你荡秋千，秋千的座椅在空中画出的弧线，就是它运动的“迹”。这个“迹”描述了座椅在不同时间点的空间位置。
这种“运动留下痕迹”的直观感受，就是“迹”在几何学中最核心的含义。它将抽象的几何概念与我们熟悉的物理世界中的运动联系起来。
更严谨的几何定义：点集与约束
在几何学中，我们通常会将“迹”理解为一个点集（set of points）。这个点集不是随意形成的，而是遵循着特定的规则、条件或约束。
运动的轨迹： 当一个点（或者一个图形，一个整体）在空间中按照某种确定的规律运动时，它所经过的所有位置的集合，就是它的“运动轨迹”。例如，圆心在固定点，且到该点的距离始终不变的点，其运动轨迹就是圆。抛物线是抛射体在重力作用下，忽略空气阻力时的运动轨迹。
满足条件的点集： 有时候，“迹”并不一定来自于动态的运动，而是静态地描述满足某种几何条件的点。例如，所有到两条平行线的距离相等的点，它们组成的“迹”就是这两条平行线的中分线。所有到某个定点距离等于到某条定直线距离的点，其“迹”就是抛物线（这是一个经典的几何定义）。
“迹”的丰富含义与应用
“迹”的概念在几何学的很多分支中都有体现，并且有着非常重要的作用：
1. 曲线与图形的生成： 很多基本的几何图形，比如直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等等，都可以看作是满足特定条件的点的“迹”。我们通过定义这些条件，就能够生成并研究这些图形的性质。
2. 几何变换的分析： 当我们对一个图形进行平移、旋转、缩放等几何变换时，图形上的每一个点都会移动。这些点的移动轨迹，可以帮助我们理解变换的效果和性质。
3. 参数方程与轨迹： 在解析几何中，我们经常使用参数方程来描述曲线的“迹”。例如，一个点的坐标 $(x, y)$ 可以表示为关于参数 $t$ 的函数：$x = f(t)$, $y = g(t)$。当参数 $t$ 在某个区间内变化时，点 $(x, y)$ 描绘出的“迹”，就是曲线。
4. 几何轨迹方程： 寻找描述一个点“迹”的方程，是解析几何的重要任务。一旦我们找到了这个方程，就可以通过分析方程的性质来研究“迹”的几何特性，比如它是否是直线、曲线，它的形状、位置等等。
5. 几何证明中的应用： 在一些几何证明中，我们可能需要证明一个点是否在某个特定“迹”上，或者证明两个“迹”是否重合。例如，证明“角平分线上的点到两边距离相等”，这里的“两边距离相等”的点所构成的“迹”就是角平分线。
一些具体的例子，帮助大家更好地理解“迹”：
点的迹：
一个点在直线上的滑动，其迹是这条直线。
一个点绕着另一个固定点旋转，其迹是以固定点为圆心，以一定半径为半径的圆。
一个固定长度的线段，当它的一端固定，另一端滑动时，滑动端的迹是圆。
线的迹：
一条直线在平行于自身的方向上平移，其迹是与原直线平行的直线。
一条直线绕着平面内的一条定直线旋转，其迹是一个圆柱面。
图形的迹：
一个圆在滚动时，其圆心移动的迹是一条直线（如果是在平面上滚动）。
一个圆沿着另一条圆周滚动时，圆上一点的运动轨迹是一个外摆线或内摆线（这比前面提到的例子要复杂一些，但原理是相同的，都是描述点在运动中的“迹”）。
总结一下，“迹”在几何上的意义，可以概括为：
运动的印记： 是一个对象（点、线、面等）在运动过程中所经过的点的集合。
条件的集合： 是所有满足特定几何条件的点的集合。
几何图形的生成器： 许多几何图形的定义本身就是某个“迹”。
分析工具： 帮助我们理解和研究几何对象的性质、变换以及它们之间的关系。
理解“迹”这个概念，就像是在学习用一种“地图语言”来描述几何世界中的动态和静态关系。它让我们能够从变化的视角去认识那些固定的形状，也让我们能够通过精确的规则去创造千变万化的几何图形。它是一种将运动、变化与几何形体连接起来的桥梁，让几何学更加生动有趣，也更加强大有力。
网友意见
对于自共轭矩阵 而言，迹 恰是平均曲率的 倍.
形状算子
当外围空间 ， 是可定向的光滑流形，则存在处处非零的单位法向量场 ，于是可以定义 映射：
即将 映射到与 维球面法向量相同的点.
映射的几何意义太直观了，相信不需要太多解释. 紧接着就引出了形状算子 ，它就是高斯映射 的切映射：
但实际上 与 是平行的，故将两者等同起来. 于是此时形状算子 是线性映射，那么就可以写成矩阵的形式了.
其实形状算子的定义可以更一般化，即将 浸入更高维的流形 中，但是为了方便理解其中的几何意义，故作特殊化的处理，并且它与本科阶段的微分几何中 变换可以自然衔接.
平均曲率
我们不加证明断言， 是自共轭的. 由线性代数的知识，可知存在一组标准正交基 ，形状算子 可被对角化， ，特征值 被称为主曲率，特征方向 是主方向. 于是定义平均曲率为
至于平均曲率有什么有趣的性质，我就不啰嗦了. 尤其是极小曲面更是研究的热点.
有趣的现象
还是啰嗦一下吧：陈维桓《微分几何初步》四章 3 节有一道有趣的习题：
其中 是二维曲面上与任意一个主方向夹角为 方向的主曲率.
第 4 节有一道习题：
虽然证明很简单，但是看到这两道题我还是被震撼了，平均曲率果然名副其实！
结语
也许自共轭矩阵对于一般矩阵而言，范围太窄，但是其超强的几何直观性也不失为对“迹”的一种生动的展现.
其实由一般矩阵 总可以得到对称矩阵 ，在统计中主成分分析（PCA）常用到奇异值分解（SVD），这也是解释迹的好的角度，以后有机会再补充吧！
提供一个不太一样的思路。
我觉得矩阵的trace意义难以理解，是因为我们不应该把矩阵看成某个线性空间 映到自身的线性映射，而应该看成 里面的一个元素。那么 有什么几何/物理意义？这个首先就应该考虑 是什么意义。如果我们只是把 看成一个线性空间，那么 同构于 ，我们就看不出它是什么意义。所以我们这里应该考虑表示论。例如：如果 是某个李代数 的线性表示，那么我们可以利用线性映射的transpose操作自然地定义一个 上的表示，这个表示叫做对偶表示。在一般情况下一个表示是不同构于其对偶表示的。在物理上，如果 是一个代数结构的不可约表示，那么它就代表一个基本粒子，而对偶表示 代表相应的反粒子。 是正反粒子同时存在的耦合情况。矩阵的trace搬到这个表示空间上看其实就是一个evaluation map ，这里 （我们假设 为复数域上的）为一维表示，对应的是真空态[1]。 这个 其实代表的就是就是粒子和反粒子的相互作用，也就是湮灭。
其实题主如果了解过一点multilinear algebra的话就会知道，trace操作本身就是矩阵作用和矩阵乘法的推广：线性映射作用在线性空间上的操作 ， 等价于 。这个意思就是说：线性映射作用在线性空间（态空间）上，等价于我先拿一些反粒子湮灭掉一些 里面的粒子，在同时create一些 里面的粒子。而矩阵相乘映射 ， 其实等价于映射 ，所以也可以用evaluation map，实际上也就是用trace写出来。这个映射的物理意义is left to the reader as an exercise。
取trace其实和cobordism也有点关系：如果一个可定向带边流形 的边界 有一对互相同构但方向相反的联通分支 ，那我们就能把这两个联通分支给粘起来，得到一个新的流形 。相应的，如果 的每个联通分支都赋予一个表示，其中 和 上给定的表示互为对偶（也就是互为反粒子），那么 上就有一个关联函数的线性空间，而从 上的关联函数构造 上的关联函数的方法就是取 上那对互为对偶表示的evaluation map。例如和仿射李代数相对应的情况是： 是一个cylinder，它的边界是一对方向相反的circle，那么attach之后的 就是一个torus。通过取trace构造仿射李代数表示的特征标其实就是一个从cyclinder（或者更一般的带边界的0-亏格黎曼面）上的关联函数到torus上的关联函数的过程，无怪乎仿射李代数的特征标理论和模形式有关系。而著名的monstrous moonshine conjecture的解决，也就是通过构造一个0-亏格黎曼面上的场论（moonshine VOA），使得其具有monster group作用下的对称性，同时其特征标是模形式j-invariant。
[1] 一般的，真空态对应的表示空间可以不是一维的，但是真空表示与任何一个表示的tensor——也就是说耦合——都必须是那个表示自己。当然in general我们说的tensor也不是一般意义上的tensor over field ，而是over更加复杂的东西。
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