如何从傅里叶逆变换推出下面这个公式？
首先，咱们得知道傅里叶变换和逆变换到底是怎么回事。
傅里叶变换：把“时域”的东西变成“频域”
你可以想象一下，任何一个复杂的信号，比如一段音乐，或者一阵风的波动，它们在时间上是不断变化的，这就是我们说的“时域”。傅里叶变换就像一个神奇的工具，它能把这个时间上的变化分解成一个个不同频率的正弦和余弦波叠加而成。就好比一首交响乐，傅里叶变换能告诉你这首乐曲里有哪些乐器（不同的频率成分），每个乐器演奏的声音有多大（各个频率的幅值），以及它们什么时候开始响，什么时候停（相位信息）。
数学上，对于一个函数 $f(t)$（代表信号在时间 $t$ 的值），它的傅里叶变换是 $F(omega)$，通常表示为：
$F(omega) = int_{infty}^{infty} f(t) e^{jomega t} dt$
这里的 $j$ 是虚数单位，$omega$ 代表角频率。这个公式的意思是，我们把信号 $f(t)$ 和不同频率的复指数函数 $e^{jomega t}$ （它包含了余弦和正弦的成分）在整个时间轴上进行积分。积分的结果就是这个信号在某个特定频率上的“含量”。
傅里叶逆变换：把“频域”的东西还原回“时域”
既然傅里叶变换能把时域信号分解成频域成分，那反过来，我们能不能用这些频域的成分重新“组装”回原来的时域信号呢？当然可以，这就是傅里叶逆变换的作用。
想象一下，你手里有一堆不同频率、不同大小、不同相位的水波。傅里叶逆变换就是把这些水波按照它们各自的频率、大小和相位在空间（或者说时间）上叠加起来，最终就能重构成原来的那个复杂的波形。
数学上，傅里叶逆变换通常表示为：
$f(t) = frac{1}{2pi} int_{infty}^{infty} F(omega) e^{jomega t} domega$
这个公式告诉我们，要恢复原始信号 $f(t)$，我们需要对它的傅里叶变换 $F(omega)$（也就是我们在频域里得到的信息）进行积分。积分的内容是 $F(omega)$ 乘以一个在时间 $t$ 下具有特定频率 $omega$ 的复指数函数 $e^{jomega t}$。前面的 $frac{1}{2pi}$ 是一个归一化因子，确保恢复的信号幅度是对的。
现在，我们来推导那个公式
你说的是哪个公式呢？如果你能提供具体的公式，我才能一步步帮你推导。不过，根据傅里叶变换和逆变换的基本形式，我猜你想推导的可能是傅里叶变换的某些性质，或者一些基础的积分公式。
举个例子：推导一个 Delta 函数的傅里叶变换
为了说明问题，我们来推导一个非常重要的函数——狄拉克 Delta 函数 $delta(t)$ 的傅里叶变换。Delta 函数非常特殊，它在 $t=0$ 时无穷大，其他时候都为零，但是它在整个时间轴上的积分是 1。你可以把它想象成一个极短但能量很集中的脉冲。
$delta(t) = egin{cases} infty, & t=0 \ 0, & t eq 0 end{cases}$
$int_{infty}^{infty} delta(t) dt = 1$
现在，我们用傅里叶变换的定义来求 $delta(t)$ 的傅里叶变换 $F(omega)$:
$F(omega) = int_{infty}^{infty} delta(t) e^{jomega t} dt$
记住 Delta 函数的一个重要性质：$int_{infty}^{infty} g(t) delta(ta) dt = g(a)$。在这里，我们的积分里是 $delta(t)$，所以 $a=0$。
所以，将 $g(t) = e^{jomega t}$ 代入性质中，我们可以得到：
$F(omega) = e^{jomega cdot 0} = e^0 = 1$
哇，看到了吗？一个在时域里这么“奇怪”的函数，它的傅里叶变换居然是 1，一个在所有频率上都“一样大”的常数！这意味着 Delta 函数包含了所有频率的成分，而且它们的“量”都是一样的。
反过来，我们也用 Delta 函数来验证逆变换
如果我们把 $F(omega) = 1$ （也就是 Delta 函数的傅里叶变换）代入傅里叶逆变换的公式：
$f(t) = frac{1}{2pi} int_{infty}^{infty} 1 cdot e^{jomega t} domega$
这个积分的结果是什么呢？根据傅里叶分析的理论，这个积分正好就等于 $2pi delta(t)$。所以：
$f(t) = frac{1}{2pi} int_{infty}^{infty} e^{jomega t} domega = delta(t)$
这就完美地验证了傅里叶变换和逆变换之间的对应关系！
如果你的公式是这个样子（猜测）：
$f(t) = int_{infty}^{infty} f( au) frac{1}{2pi} int_{infty}^{infty} e^{jomega (t au)} domega d au$
这个公式是傅里叶变换和逆变换的一个很重要的结合形式，它展示了卷积定理的一种体现，或者说它本身就是傅里叶逆变换公式的一种展开。
我们知道傅里叶逆变换是：
$f(t) = frac{1}{2pi} int_{infty}^{infty} F(omega) e^{jomega t} domega$
如果我们将 $F(omega)$ 看作是某个函数 $h( au)$ 的傅里叶变换，即 $F(omega) = int_{infty}^{infty} h( au) e^{jomega au} d au$，代入到逆变换公式里：
$f(t) = frac{1}{2pi} int_{infty}^{infty} left( int_{infty}^{infty} h( au) e^{jomega au} d au ight) e^{jomega t} domega$
现在，我们交换积分的顺序（在很多情况下这是允许的，需要满足一些条件）：
$f(t) = int_{infty}^{infty} h( au) left( frac{1}{2pi} int_{infty}^{infty} e^{jomega t} e^{jomega au} domega ight) d au$
注意到指数部分可以合并：$e^{jomega t} e^{jomega au} = e^{jomega (t au)}$。
所以，公式变成了：
$f(t) = int_{infty}^{infty} h( au) left( frac{1}{2pi} int_{infty}^{infty} e^{jomega (t au)} domega ight) d au$
而我们刚才推导的，$frac{1}{2pi} int_{infty}^{infty} e^{jomega (t au)} domega$ 正是 Delta 函数 $delta(t au)$！
因此，这个公式就变成了：
$f(t) = int_{infty}^{infty} h( au) delta(t au) d au$
而根据 Delta 函数的采样性质 $int_{infty}^{infty} h( au) delta(t au) d au = h(t)$，我们得到了 $f(t) = h(t)$。
这里面其实隐藏了一个很重要的概念，就是卷积定理。如果 $y(t)$ 是 $x(t)$ 和 $h(t)$ 的卷积，即 $y(t) = (x h)(t) = int_{infty}^{infty} x( au) h(t au) d au$，那么 $y(t)$ 的傅里叶变换 $Y(omega)$ 就是 $x(t)$ 的傅里叶变换 $X(omega)$ 和 $h(t)$ 的傅里叶变换 $H(omega)$ 的乘积：$Y(omega) = X(omega) H(omega)$。
我们刚才的推导过程，实际上是在证明，如果 $F(omega) = X(omega) H(omega)$，那么通过逆变换，我们又能得到原始的卷积形式。
总结一下关键点：
1. 傅里叶变换把时域信号分解成不同频率的复指数（或正弦余弦）波的叠加。
2. 傅里叶逆变换把这些频域成分重新组合起来，恢复时域信号。
3. 核心的推导过程依赖于 Delta 函数的傅里叶变换是对所有频率的常数 1，以及 Delta 函数的采样性质 $int g( au) delta(t au) d au = g(t)$。
4. 傅里叶变换的逆变换公式 $f(t) = frac{1}{2pi} int_{infty}^{infty} F(omega) e^{jomega t} domega$ 是推导的关键起点。
如果你能提供你想推导的具体公式，我就可以更精确地根据那个公式来讲解了。但希望我上面的解释能给你一个清晰的脉络，理解傅里叶逆变换是如何工作的，以及它是如何导出一些重要的数学关系的。
网友意见
你多虑了, 不过他这里确实有符号滥用之嫌. 但符号滥用基本上是物理人的老传统了, 众所周知, 物理人眼里根本就容不下映射这个词, 真能搞清楚函数是咋回事的也是少之又少, 他们眼里的函数就是一个量, 比如说 , 如果它正巧依赖于另一个量 , 那就搞出了个函数叫 . 映射? 映射是啥?
回到你这里, 我们先有一个 Fourier 变换[1]:
然后他说要做个积分变量替换:
但你的问题就来了, 这岂不是说 吗? 这跟表象理论有啥关系? 其实这跟表象理论无半毛钱关系, 他的意思只是说:
假如 , 那我也可以写成
没了, 就这么个意思, 就是搁那放个常数罢了. 其实你要是把括号和里面的内容都去掉, 就光秃秃地往公式里写个 可能反而就没啥疑惑了. 其实这种程度的滥用还是无伤大雅的, 印象中唯一需要严格区分自变量与宗量的好像也就复变函数内块儿, 比如说定义分支点的时候:
这种小问题其实内行根本看不出来, 大家都是处于一个你懂我意思就行了的状态, 因为到后面很多东西要写精确了其实很费神. 像比较有自知之明的作者通常还会专门说一下类似的问题:
Quantum Field Theory in a Nutshell by A. Zee, 敬请见证.
这都是纯数学上的符号滥用, 跟表象理论能有啥关系呢? 表象理论一开始会扯到 Fourier 变换其实只是因为同一个量子态分别在坐标和动量表象下的波函数之间差了个 Fourier 变换罢了. 那么我们平时说的 Fourier 变换究竟是啥? 其实就是扔个平面波 然后做全空间积分就叫 Fourier 变换了. 说白了就是积分变换的一种, 没啥神秘的地方.
你马上还会碰到更多符号滥用的情形, 包括我都一定会不区分变换前与变换后的映射符号. 因为在量子力学里, 重要的确实不是映射, 而是量子态. 比如说我一定会写出下面这种式子来:
问题出在哪? 怎么变换前变换后的映射符号都是 呢对吧? 但有一说一, 表象可不只坐标动量两种, 随便一个力学量就能对应一种呢. 给每个物理态分别在每个表象都想一个符号? 怎么想都是吃饱了撑的对吧? 量子态 本身就绑定了 这个符号, 各个表象又都是平权的, 所以干脆就用自变量来指明表象就是了. 比如说 就首先就指定了量子态 , 然后又说明了是动量表象, 这就不会再有任何歧义了, 就够了.
符号滥用是不可避免的, 数学人看到这里也别偷着乐, 你们那边的滥用功底也不差. 对于符号滥用我只能说, 你初学的时候一定要先知道自己是在滥用然后再去滥用, 别糊里糊涂跟着别人用了大半辈子然后哪天突然纠结起来又给自己吓一大跳.
关于 Fourier 变换, 下面摘抄自:
我知道你高数里学过所谓的 Fourier 级数展开, 我看知乎上好多人都把这玩意儿整的神乎其神的, 其实好像也没啥了不起的吧? 我是说发现者 Fourier 确实很了不起, 但你学会这么个玩意儿真的需要整那么多玄学分析吗? 好像就是用频率为周期函数频率整数倍的一组三角函数做完备基底展开一个周期函数? 这不是很直观清晰的东西吗?
咱先不管这个, 反正你以后也碰不到啥周期函数, 对我们理论物理人而言真正重要的是这里推广出来的 Fourier 变换, 级数展开也有复数的版本, 在那里三角函数被换成了平面波 , 然后进一步推广到 Fourier 变换之后呢? 我们把无穷级数求和改成了积分, 对被变换的函数也不再设有周期性的要求, 而作为基底的平面波也可以有连续的频谱且从基底变成所谓的积分核了.
那其实你完全可以撇开 Fourier 级数展开的思想包袱, 就是完全没学过也没关系好吧, 我们就从零开始定义这个变换:
Fourier 变换:
Fourier 逆变换:
那其实这里完全没有啥门槛, 就是一个积分变换的定义罢了, 就是说假如我们有一个函数 那就可以对它做 Fourier 变换, 然后得到一个蕴含的信息与它完全相同的 , 因为它俩是互逆的, 所以包含的信息肯定一模一样. 也就仅此而已, 这就叫积分变换, 我们就是把一个关于 的函数换成了一个关于 的函数罢了.
其实所有的积分变换就都只是积分变换罢了, 什么拉普拉斯变换 (Laplace transform), [Borel 变换] 都是这样的, 就是引入个参数做个积分, 然后原来的变量没了剩个参数作新的变量.
那我们为啥要做呢? 这主要是有时候在 空间里研究问题会突然简单很多. 然后在物理上其实出现率更高的是 这种积分核, 这就会将坐标的函数换成一个动量的函数, 这也就是物理人常说的去动量空间处理. 听起来巨妈科幻对吧? 其实就是这么个积分变换罢了. 至于说为何坐标与动量互为 Fourier 共轭, 且听量子力学那一期的分解.
如果你将变换式代入逆变换式:
这种选择性实际上就是 δ 函数的定义, 也是 δ 函数的重要功能, 所以我们可以说:
或者如果你总觉得不太接受上面那个就是 δ 函数的定义的话, 还可以这样想:
对 δ 函数做 Fourier 变换 是个常数.
这样再积分回去就有
物理··· 很奇妙吧?
对离散的 Kronecker delta 也有类似的奇妙结论:
在 或者说 时[2],
这个结论很容易证明, 你可以自己试试.
参考
类似的话题
-
好的，咱们这就来掰扯掰扯这个傅里叶逆变换是如何引出你说的那个公式的。别担心，我会尽量讲得透彻些，而且说话的风格也尽量接地气，不像那些机器生成的东西。首先，咱们得知道傅里叶变换和逆变换到底是怎么回事。傅里叶变换：把“时域”的东西变成“频域”你可以想象一下，任何一个复杂的信号，比如一段音乐，或者一阵风的............. -
好的，我们来聊聊傅里叶变换，争取把这事儿掰扯清楚了，而且得说得像是个老朋友拉家常一样，没有半点机器的生硬感。想象一下，你正在听一首音乐。这首音乐，对于我们来说，就是一段时间内声音强弱的变化，也就是一个“时域”信号。你耳朵里听到的，是这些声音组合在一起的效果。但你有没有想过，这首音乐，实际上是由无数个.............
-
傅里叶变换（Fourier Transform）就像是一位技艺高超的魔术师，能够将我们日常生活中接触到的各种“杂乱无章”的信号，比如声音、光线、电波，甚至我们肉眼无法直接感知到的某些物理现象，一一拆解成最基本的“纯粹”的组成部分——正弦波（或余弦波）的叠加。理解了这个核心思想，我们就能更深入地探究它.............
-
“函数卷积的傅里叶变换等于傅里叶变换的乘积”，这句话听起来可能有些拗口，但它揭示了一个非常深刻且在信号处理、图像处理、物理学等众多领域都至关重要的规律。简单来说，它描述了在两个函数进行“卷积”操作后，它的频谱（也就是傅里叶变换的结果）与分别对这两个函数进行傅里叶变换后相乘的结果是完全一样的。为了更好.............
-
想象一下，你面前有一段很长很长的旋律，就像是乐团演奏出来的一首歌曲，里面包含了各种各样的乐器发出的声音，有低沉的大提琴，有嘹亮的喇叭，还有轻盈的长笛。你听到的就是这些声音混合在一起的效果。现在，你有一个神奇的放大镜，这个放大镜可以把这段复杂的音乐“拆解”开来。离散傅里叶变换（DFT）就好比是这样一个.............
-
窥探光之本质：傅里叶光学如何解锁视觉的奥秘你有没有想过，我们看到的那些色彩斑斓、形态万千的世界，究竟是如何被眼睛捕捉，又如何在脑海中形成的？光，这个看不见摸不着的“信使”，又是如何将物体的信息传递给我们的？其实，这背后隐藏着一套精妙的数学语言，而傅里叶光学，正是解读这门语言的关键。初识傅里叶光学，可.............
-
傅里叶级数的证明以及其展开形式的由来是一个深刻而美妙的数学概念，它涉及到微积分、线性代数和函数空间等多个领域。下面我将尽量详细地为您阐述： 傅里叶级数是如何证明的？傅里叶级数的证明并非是一个单一、孤立的证明过程，而是建立在许多重要的数学工具和概念之上，并且有多种不同的证明思路。最核心的思想是利用一组.............
-
好的，我们来聊聊这个命题，并尝试用一种更直观、不依赖傅立叶级数的方式来理解它。你想证明什么命题呢？ 请告诉我具体的命题内容，我才能给你一个详尽的、非傅立叶层面的证明思路。在得知具体命题之前，我可以先给你一个通用的思考方向，帮助你构建一个“非傅立叶”的证明框架。当你接触到一个需要证明的数学命题时，特别.............
-
好的，我们来试着用一个通俗易懂的方式，把傅立叶分析和小波分析这两个概念及其之间的关系讲清楚。想象一下，我们要分析一段音乐。 傅立叶分析：用“固定音调”的乐器来解析音乐 傅立叶分析的核心思想：把复杂的信号分解成一系列简单的“正弦波”傅立叶分析就像是一个非常有耐心的音乐家，他拿到一首复杂的交响乐（也就是.............
-
傅盛的猎豹机器人之夜是一场集发布会、产品展示、理念宣讲、粉丝互动于一体的综合性活动，旨在展示猎豹移动在人工智能和机器人领域的最新成果和未来规划。要评价这场活动，我们需要从多个维度进行分析，包括其内容、形式、影响力、创新性以及潜在的争议点。活动内容与亮点： 产品发布的重磅性： 猎豹机器人之夜最核心.............
-
傅园慧在2016年里约奥运会女子100米仰泳半决赛后的采访，无疑是中国体育史乃至中国社会现象中一个极其令人印象深刻的时刻。她以一种前所未有的、极具个性的方式表达自我，瞬间引爆了网络和舆论，也引发了广泛的讨论和思考。要评价这次采访，我们可以从以下几个方面来细致分析：1. 采访的背景和傅园慧的个人表现：.............
-
傅园慧“请不起队医”的言论，触及了中国体育体制下运动员面临的诸多现实问题，也引发了广泛的社会关注和讨论。要详细地评论这一言论，我们可以从多个角度进行深入分析：一、 言论的直接含义与引发的联想： 字面意思： 最直接的理解是，傅园慧作为一个拥有众多商业代言、知名度极高的运动员，竟然连支付队医的费用都.............
-
看到傅园慧在 2019 年游泳世锦赛 100 米仰泳预赛中意外出局，说实话，心里还是挺不是滋味的。毕竟，她是“洪荒少女”，是大家心目中那个敢说敢做的耿直girl，也是我们国家在女子仰泳项目上的重要代表。100 米仰泳预赛就这么止步了，这确实出乎了很多人的意料，也让我开始回想起这一路走来，她所经历的一.............
-
傅聪先生的去世本应是一个令人悲伤和缅怀的时刻，但部分人在社交平台上出现的激进言论，例如指责他是“英国人”、“不孝”等，确实令人感到遗憾和不解。理解这些言论的出现，并探讨如何减少类似情况的发生，需要我们从多个层面进行分析和思考。一、 如何看待傅聪去世后的激进言论：这些激进言论的出现，背后可能包含以下几.............
-
关于傅聪去世后有人称其为“叛徒”的说法，这在中国社会确实引发了广泛的讨论和争议，也反映了不同历史时期和不同立场的人们对同一事件的不同解读。要理解这种观点，我们需要将其置于特定的历史背景下，并分析其背后可能存在的逻辑和动机。历史背景： 傅聪的早期生涯： 傅聪是中国著名钢琴家，早年在中国备受推崇，被.............
-
评价傅作义在“投共”之前的军事指挥水平，需要将其放在其所处的时代背景、面对的敌人以及所属阵营的特点中进行分析。总的来说，傅作义是一位具有相当军事才能的国民党将领，尤其是在华北地区，他曾取得过显著的战绩。但同时，他并非没有缺点和局限性。以下是详细的评价：一、 傅作义的军事指挥亮点： 善于利用地形和.............
-
傅园慧近半年频繁出现在各类电视综艺节目，这确实是一个值得关注的现象，背后反映的可能是她对个人职业生涯的深层规划，抑或是对自身商业价值的精明运用。要评价这件事，我们需要从几个层面去剖析。首先，从“个人职业生涯的规划转型”来看：运动员的黄金生涯通常相对短暂，尤其是像傅园慧这样的顶尖游泳选手，她已经经历了.............
-
傅园慧那句“自己已经是一个25岁的年迈运动员”确实触动了不少人。放在我们普通人身上，25岁可能正是青春洋溢、充满活力的年纪，但对于一名顶尖的游泳运动员来说，这个年龄的“年迈感”是有其深刻原因的。傅园慧为何会觉得自己“年迈”？首先，我们要理解运动员，尤其是游泳运动员所经历的训练强度和身体消耗。 高.............
-
傅莹女士在美国《外交》杂志上发表的这篇题为《中国如何看待俄罗斯：北京和莫斯科关系密切，但并非盟友》的文章，无疑是一份非常有价值的读物，它以一种相对坦诚和审慎的视角，剖析了当前中俄关系的核心特质及其背后的考量。这篇文章之所以值得我们深入探讨，是因为它并非简单地重复官方口径，而是试图解释“为什么”，并尝.............
-
傅作义将军，一个在中国近代史上留下浓墨重彩的人物。评价他，不能简单地用“好”或“坏”来概括，他的人生轨迹如同时代的洪流，充满了抉择、权谋与个人命运的纠葛。理解他，需要我们剥开历史的滤镜，走进那个风云变幻的年代，体味他作为一名国民党高级将领，在历史关键节点上的所作所为。首先，我们得承认傅作义是一位颇具.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有