如何理解傅里叶光学？
你有没有想过，我们看到的那些色彩斑斓、形态万千的世界，究竟是如何被眼睛捕捉，又如何在脑海中形成的？光，这个看不见摸不着的“信使”，又是如何将物体的信息传递给我们的？其实，这背后隐藏着一套精妙的数学语言，而傅里叶光学，正是解读这门语言的关键。
初识傅里叶光学，可能会被那些复杂的数学公式和抽象的概念吓到。但请别担心，我们不妨抛开枯燥的推导，从一个更直观、更有趣的角度来理解它。想象一下，你手中握着一把神奇的“分析仪”，它能将任何复杂的“光之形状”分解成一系列简单的“基本波”，然后再根据这些基本波的信息，重新构建出原来的形状。这就是傅里叶光学最核心的思想。
一切皆是波：拆解光的世界
我们熟悉的现实世界，是物体由光照亮，反射光线进入我们眼睛，然后大脑进行处理。但从物理学的角度看，光本身就是一种电磁波，它具有频率、振幅和相位等属性。而傅里叶光学，就像一个超级侦探，它告诉我们，任何一个看似复杂的“光场”（也就是不同位置、不同方向上的光的强度和相位分布），都可以看作是无数个“平面波”的叠加。
这就像你听到一段美妙的音乐，你听到的是整个旋律，但实际上，这旋律是由无数个不同频率、不同响度的音符组合而成的。傅里叶光学做的，就是把一个复杂的“光之旋律”分解成一个个简单的“基本音符”——也就是平面波。
傅里叶变换：从“形”到“频”的奇妙转变
傅里叶光学最强大的工具，就是傅里叶变换。你可以把它想象成一个“魔法转换器”。
从“空间域”到“频率域”： 当我们将光线照射在一个物体上，物体表面的各个点会以不同的方式反射或衍射光。这些信息，也就是光在空间中的分布，我们称之为“空间域”的信息。傅里叶变换能做的，就是把这些“空间域”的信息，转化成“频率域”的信息。
那么，“频率域”又是什么呢？ 在光学中，我们通常将“频率”理解为“空间频率”。这并不是我们通常意义上的光波频率（颜色），而是指在空间中，光强（或相位）变化的速度和方向。
想象一下，你在看一个栅栏。栅栏的条纹越密集，它的空间频率就越高。如果栅栏很光滑，几乎没有变化，那它的空间频率就接近于零。
傅里叶变换做的，就是告诉我们，在我们看到的这个“光之图像”中，有多少是“高频”成分（快速变化的部分，比如物体的边缘、细节），有多少是“低频”成分（缓慢变化的部分，比如平滑的背景）。
“看”见变化的速度： 简单来说，傅里叶变换就像一个“空间频率分析仪”。它会告诉你，在你观察的那个光场里，哪些方向上的变化最快（高空间频率），哪些方向上的变化最慢（低空间频率）。
逆傅里叶变换：从“频”到“形”的重塑
更神奇的是，傅里叶变换还有一个“孪生兄弟”——逆傅里叶变换。它能把“频率域”的信息，重新变回“空间域”的信息。
重建图像： 也就是说，如果我们知道了一个光场的所有“基本音符”（即不同空间频率的平面波），并且知道每个“音符”的“响度”（振幅）和“调性”（相位），我们就可以用逆傅里叶变换，将它们叠加起来，重新“演奏”出那个原始的“光之旋律”，也就是我们看到的那个图像。
光学中的实际应用：眼睛的秘密，相机的原理
那么，傅里叶光学在实际中有什么用呢？它的意义深远，几乎渗透到了光学的所有领域。
1. 透镜就是傅里叶变换器： 这是傅里叶光学最经典的例子。一个理想的透镜，当光线穿过它时，会自动进行一次傅里叶变换。
想象一下，你将一个物体放在透镜的前面。透镜的后焦面上，就会形成这个物体的傅里叶变换。也就是说，后焦面上记录的不再是物体的真实图像，而是物体空间频率的分布。
后焦面上的“频率图像”： 在后焦面上，靠近中心的位置（零频率），对应着物体中变化缓慢、平滑的部分（低频成分）。而远离中心的位置（高频率），则对应着物体中变化快速、细节丰富的部分（高频成分）。
这就像我们用眼睛看东西： 我们的眼睛，特别是视网膜上的感光细胞，以及大脑的视觉皮层，都在以某种方式进行着类似的“频率分析”。我们能够识别出物体的边缘、纹理，这都与对高频成分的处理有关。
2. 图像的滤波与增强：
既然我们能将图像分解成不同频率的成分，那我们就可以选择性地“保留”或“去除”某些频率的成分。
去除低频： 如果我们把傅里叶变换后的图像中的低频部分（靠近中心的部分）去掉，再进行逆傅里叶变换，我们会得到什么？图像中的平滑区域会被模糊掉，只剩下那些边缘和细节。这就是高通滤波，常用于边缘检测。
去除高频： 反过来，如果我们去掉高频部分（远离中心的部分），再进行逆傅里叶变换，图像中的边缘和细节会被模糊，只留下平滑的背景。这就是低通滤波，常用于图像去噪。
人眼也是一个低通滤波器： 我们的眼睛，尤其是在弱光下，对高频细节的感知能力会下降。这也可以用傅里叶光学来解释。
3. 全息术的原理：
全息术能够记录下物体的三维信息，然后重现出逼真的三维图像。这背后也离不开傅里叶光学。
在记录全息图时，我们是将物体的光波与一束参考光波干涉。这种干涉图案，本质上记录了物体光波的相位和振幅信息。
而当用参考光波照射全息图时，由于全息图的记录方式，它会衍射出与原始物体光波几乎完全相同的光波，从而重建物体的三维像。这个过程，也包含了复杂的傅里叶变换和逆傅里叶变换的数学原理。
4. 光学衍射和干涉的解释：
当光遇到障碍物或通过狭缝时，会发生衍射现象，光线会沿着非直线方向传播。
当两束或多束光叠加时，会发生干涉现象，形成明暗相间的条纹。
傅里叶光学提供了一种统一的框架来描述这些现象。任何衍射或干涉图案，都可以被看作是不同空间频率的平面波的叠加。
将抽象概念具象化：想象你的大脑就是一台傅里叶分析仪
为了更好地理解，让我们再回到一些更形象的类比：
调色板： 想象一个画家，他有一盒颜料，每种颜色代表一种“频率”的“光”。他通过混合不同比例的颜料，就能画出各种各样的画面。傅里叶光学做的，就是分析出一幅画，究竟是由哪些“颜色”（频率）以何种比例（振幅）混合而成的。
乐器发声： 一把小提琴，可以拉出高亢的音，也可以拉出低沉的音。这些不同的音，就是不同频率的声波。我们能分辨出小提琴的声音，是因为我们的大脑能够分析出它发出的声音中，包含了哪些频率的声波，以及它们的相对强弱。这与傅里叶光学分析光波是类似的。
为什么傅里叶光学如此重要？
因为傅里叶光学将我们从“如何产生图像”的问题，引向了“图像的本质是什么”的思考。它告诉我们，一个复杂的图像，可以被拆解成最基本的“频率”构成。这使得我们能够：
深刻理解光的传播规律： 揭示了衍射、干涉等现象背后的数学本质。
实现强大的图像处理能力： 让我们能够对图像进行各种操作，如去噪、锐化、边缘检测等。
设计更先进的光学系统： 无论是显微镜、望远镜，还是激光系统，都离不开傅里叶光学原理的指导。
连接物理世界与信息世界： 傅里叶光学是连接物理光学和信息论、信号处理的重要桥梁。
最后，请记住：
傅里叶光学并非只是深奥的数学理论，它更是我们理解世界运行方式的一种独特视角。它帮助我们看到，在纷繁复杂的表象之下，隐藏着简洁而强大的规律。下次当你看到一张照片，或者感受一道光线时，不妨想想，在那背后，是否有一套精密的“频率分析”正在悄然进行着。这，就是傅里叶光学带给我们的，对视觉和光之本质的全新洞察。
网友意见
我也将这本书找来读了一下，也快读晕了。
这本书写得非常数学，但是联系实际有些太少了——比较缺乏物理图像。可能适合数学基础好的人阅读。光在经过一些光学仪器后——比如透镜、光栅，就相当于做了一个傅立叶变换。将空间域转化到了k空间，或者将频域转换到了空间域。之后就可以对光的频率或者图像做一些modification，从而实现调控。这在非线性光性领域非常常见。比如4F system经常被用来压缩光的频域，以及pulse shaper被广泛用于二维光谱学。
下面我就以一些非常实际的例子，来展示一下傅立叶光学的一些实际应用。
1、测眼力，找不同
比如下面这幅图（为何方便处理换成了黑白），请在其中找到不同的那个。这幅图可能看起来容易，但是如果是在成千上万个里面找一个不同的话，就要难得多了。我们可以注意到该图还是比较有周期性的，这时候让我们尝试一下傅里叶变换。
经过傅里叶变化后得到了如下的二维图像，可以看到有很多亮点。这是因为周期性所导致的。（注：该图是进行了求对数后所得到的，因为强度差别太大了。）
如果我将所有这些亮点去掉，而只留下比较暗的，再进行逆傅里叶变换就会得到下图。可以看到，它告诉了我哪个位置是与其他位置不同的——它不满足周期性。这样我们就利用傅立叶变换找到了这只不同的猫咪。
然后我只将比较亮的点留下，比较暗的全部抹掉，随后再进行逆傅里叶变换，得到了下面的图。可以看到此时每只猫都长得一样，不过此时比较模糊，因为丢掉了太多的信息。
2、傅立叶变换在光谱学中的应用
比如我自己是做和频振动光谱的，并且搭建了世界上第一台Fully Collinear Heterodyne Sum Frequency Generation Microscopy （全共线式外差法和频振动光谱显微镜）。[1]
简单背景是这样的：
光学信号其实同时包括有强度和相位的。但是探测器都只能探测强度，从而丢失了相位的信息。如果想获得相位信息的话，可以将另一束频率相同的光同时打入检测器，并且与待测光保持一定的时间差。
这样这两束光就会在探测器上发生干涉，从而形成类似下属的信号：
很明显该信号可以看作是有一个比较宽的峰，然后在这个宽峰上有好多干涉条纹。那么如何分开它们呢？此时可以做一个傅里叶变换将其从频域转化到时域上，然后用一个filter来只选取部分内容。
然后再进行逆傅里叶变换回到频域，这样就将它们分开啦！
3、傅里叶变化在芯片制造中的应用（光刻，Lithography）
在芯片制造中，其中很重要的一个步骤就是光刻了（Lithography）。简单来说，光刻就是将掩膜上的图案转移到光刻胶上。所以就是一束光（比如ArF激光 193 nm）照射在掩膜（Mask）上，然后部分区域被挡住，部分区域通过。然后通过区域的光被透镜所会聚照射在光刻胶上，而被曝光区域的性质会与未被曝光的不同（取决于具体的光刻胶，193 nm的应该是Chemically Amplified Resist，需要post-exposure bake）。
可能你觉得我们就能一定得到掩膜上一模一样的图案，但是实际情况并不是。因为掩膜上的图案过小，会发生衍射，这样就相当于做了一次傅里叶变换。之后不同级数的信号从不同的方向传播，而我们又没法用透镜收集所有的光，所以就会有一些高频信号丢失。那么具体会发生什么样的情况呢？让我来做一个模拟：
我先构建了这样的初始图像（总共500*500）
经过傅里叶变换后得到（这里我将零级移到中心了，并且也经过了对数处理）
如果我只取中心±5像素来做逆傅里叶变换，会得到：
可以看到有一点感觉但是很不接近。当我取了中间的±10像素时，此时更加像一些了，但是依然有些差距。
当取到±50像素时，此时已经很像了，但是依然有一些细节不同。
当取到±150像素时，更加接近了。
但是在实际应用过程中，如果要取太多的级数的话，会导致可光刻的尺度变大，而我们的目标就是可以光刻出更小的图案。所以往往会从某个角度去照射，这样可以改善可以光刻的最小尺度（分辨率）。
关于Lithography部分，可以参考
4、傅里叶变换在Pulse Shaper中的应用
在光学领域，往往需要对光的波长进行调控。先通过一个光栅（grating）将光分散开——此时也是傅立叶变换。然后选择1级数的（因为0级所有的光都没有分开，而1级的则不同波长的角度不同），经过透镜后在fourier plane进行调控——可以将一些特定的光挡住，之后再经过透镜和光栅得到调控后的光。此时光栅-透镜-Fourier Plane-透镜-光栅，两两之间的距离都是透镜焦距F，所以该方法也被叫做4F system，在我的论文中也是多次被使用。[1][2][3][4]
给各位推荐一本二维红外光谱领域的权威书，其中作者之一是祖师爷。影印版有点贵，建议让学校图书馆去买……
参考
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