傅里叶变换如何应用于实际的物理信号？

傅里叶变换（Fourier Transform）就像是一位技艺高超的魔术师，能够将我们日常生活中接触到的各种“杂乱无章”的信号，比如声音、光线、电波，甚至我们肉眼无法直接感知到的某些物理现象，一一拆解成最基本的“纯粹”的组成部分——正弦波（或余弦波）的叠加。理解了这个核心思想，我们就能更深入地探究它在实际物理信号处理中的种种妙用。

简单来说，任何复杂的周期性信号，都可以被看作是不同频率、不同振幅、不同相位的基础正弦波的集合。傅里叶变换做的，就是找到这个集合里，究竟有多少个特定频率的正弦波，每个正弦波的“力量”（振幅）有多大，以及它们“错开”的角度（相位）是多少。

为什么我们要这么做？

生活中的信号往往是混合在一起的，就像一盘复杂的交响乐，里面有小提琴的悠扬，大提琴的低沉，还有打击乐的节奏。我们很难从整体上分辨出每种乐器单独发出的声音。而傅里叶变换就能帮我们做到这一点，它将这首交响乐分解成一个个单独的音符，让我们能够清晰地了解“乐曲”的构成。

在物理学和工程领域，这种“分解”能力至关重要，因为它能让我们：

理解信号的本质： 通过了解信号的频率构成，我们可以深入理解产生这个信号的物理过程。例如，不同频率的光波对应着不同的颜色，不同频率的声波对应着不同的音高。
去除不想要的成分： 很多时候，我们希望从信号中提取出我们关心的部分，而滤除掉那些干扰项，比如录音中的背景噪音。
压缩和传输信息： 将信号分解成不同频率成分，可以帮助我们以更有效的方式存储和传输信息。
分析和预测系统行为： 在很多系统中，信号的输入和输出都会与频率有关。通过傅里叶变换，我们可以分析系统在不同频率下的响应，从而更好地理解和控制系统。

傅里叶变换在实际物理信号中的具体应用：

我们来一步步看它是如何施展“魔法”的。

1. 音频处理：分解声音的“味道”

想象一下你听到一段音乐，耳朵接收到的就是空气压强随时间变化的复杂波动。这波动背后，其实是无数不同频率、不同振幅的声波叠加而成。

频谱分析： 当我们对一段声音进行傅里叶变换后，得到的是它的“频谱图”。这张图上，横轴代表频率（音高），纵轴代表该频率成分的强度（响度）。我们可以看到哪些频率的音符最突出，哪些频率的泛音更丰富，这直接反映了乐器的音色特点。比如，钢琴的音色和小提琴的音色之所以不同，除了基本频率（基频）之外，它们的泛音列（更高频率的成分）分布是不同的，傅里叶变换能清晰地展现这一点。
降噪： 录音时常常会混入一些“嘶嘶”的背景噪音，这些噪音通常集中在特定的高频或低频范围。通过傅里叶变换将声音分解后，我们就可以识别出这些“不希望出现”的频率成分，然后选择性地将它们“削弱”或“移除”，再通过逆傅里叶变换（将频率域的信号还原回时域）得到更干净的声音。
音频压缩： MP3等音频压缩格式利用了人耳对某些频率成分不敏感的特性。通过傅里叶变换，可以识别出这些对人耳听觉贡献不大的频率成分，然后对其进行量化或舍弃，从而达到压缩数据的目的，同时尽量不影响听觉感受。
语音识别： 在语音识别系统中，对声音信号进行傅里叶变换，提取其频谱特征，是识别不同音素和词语的基础。

2. 图像处理：拆解视觉的“像素点”

虽然图像不是随时间变化的信号，但我们可以将其视为一个二维的空间信号。图像中的每个像素点都有一个亮度值，我们可以把它看作是空间上的“振幅”。

图像滤波： 图像中常常存在高频噪声（比如画面中的细小颗粒感）和低频模糊。傅里叶变换可以将图像分解成不同空间频率的成分。高频成分对应着图像的细节和边缘，低频成分则代表着图像的整体亮度分布和模糊区域。
低通滤波： 移除高频成分，可以使图像变得模糊，去除噪声。
高通滤波： 移除低频成分，可以增强图像的边缘和细节，让图像更清晰，常用于边缘检测。
带通滤波： 只保留特定频率范围的成分，可以突出图像中具有某种“纹理”的区域。
图像压缩： JPEG等图像压缩格式也广泛应用了傅里叶变换（或其变种，如离散余弦变换 DCT）。将图像分成小块进行变换，然后对变换后的系数进行量化和编码。由于人眼对低频信息更敏感，对高频信息不那么敏感，因此可以将一些高频系数丢弃或用更少的比特表示，从而实现高效压缩。
图像增强和纹理分析： 通过分析图像的频率成分，可以识别出图像中的周期性纹理（例如布料的织纹、木材的年轮），这在工业检测、医学影像分析等领域非常有用。

3. 通信系统：在“无线电波”中传递信息

无线电通信，无论是手机信号、广播电视信号还是WiFi信号，本质上都是将信息加载到特定频率的电磁波（载波）上进行传输。

调制与解调： 在发送信息时，需要将原始信号（比如语音）的频率成分转换到高频的载波频率上，这个过程叫做调制。接收端收到高频信号后，需要通过傅里叶变换（或者更实用的滤波器组）将其“解调”出来，还原成原始的低频信号。
频分复用（FDM）： 不同的电台、不同的手机通话，都可以通过分配不同的载波频率来同时传输，就像在一条宽阔的道路上划分不同的车道。傅里叶变换能够帮助我们识别和分离不同频率的信号。
频谱分析与干扰识别： 在通信系统中，分析频谱可以帮助我们了解当前频段的使用情况，识别是否存在其他信号的干扰，从而优化通信效率和质量。

4. 物理测量与科学研究：从数据中“听”出规律

在许多科学实验中，我们会得到一系列随时间或空间变化的数据，这些数据背后往往隐藏着重要的物理规律。

振动分析： 在机械工程、地震学中，我们会监测结构的振动。通过傅里叶变换，可以分析出结构在哪些频率上振动最剧烈，这有助于诊断结构健康状况，预测共振可能带来的灾难。例如，桥梁的固有频率分析。
光谱分析： 在天文学中，望远镜收集的光信号经过傅里叶变换后，会得到星体发出的光谱。光谱是星体化学成分、温度、运动状态等信息的重要载体。不同的元素在特定频率上会吸收或发射光，形成特征谱线，傅里叶变换能够帮助我们清晰地分辨这些谱线。
信号解卷积： 有时候我们观测到的信号是某个真实信号经过一个系统（比如一个传感器的响应）处理后的结果。傅里叶变换可以将卷积运算转化为乘法运算，从而更容易地反演出原始信号。
傅里叶定律在传热中的应用： 虽然不是直接的信号处理，但傅里叶在热传导研究中提出的傅里叶定律，其数学形式与傅里叶变换有着深刻的联系，都描述了如何将复杂的现象分解为简单的部分。在某些复杂传热问题中，通过将温度分布分解到不同空间频率的模式上，可以简化分析。

一些实际操作上的考量：

离散傅里叶变换 (DFT) 和快速傅里叶变换 (FFT)： 在数字信号处理中，我们通常处理的是采样后的离散数据，这时就需要用到离散傅里叶变换 (DFT)。而快速傅里叶变换 (FFT) 是一种高效计算 DFT 的算法，使得傅里叶分析在计算机上得以广泛而快速地应用。
窗口函数： 当我们对一个有限长度的信号进行傅里叶变换时，实际上是在假设这个信号在观测窗口之外是零。这种截断会引入所谓的“频谱泄漏”，即原本集中在一个频率上的能量会扩散到相邻的频率上。为了减小这种影响，我们通常会在信号上乘以一个“窗口函数”（如汉宁窗、汉明窗等），这会改变信号的形状，但能使频谱分析结果更准确。

总而言之，傅里叶变换并非一个抽象的数学工具，而是连接我们对物理世界感知的桥梁。它让我们能够深入到信号的内在构成，理解其“本质”，从而在各种实际应用中实现更精细的控制、更高效的处理和更深刻的洞察。从我们听到的每一段旋律，到我们看到的每一张照片，再到我们使用的每一项无线通信技术，背后都可能闪烁着傅里叶变换智慧的光芒。

网友意见

路过强答一番。

就举一个例子。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Pink Noise Generation with MATLAB Implementation %

% %

% Author: M.Sc. Eng. Hristo Zhivomirov 07/30/13 %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function y = pinknoise(N)

% function: y = pinknoise(N)

% N - number of samples to be returned in row vector

% y - row vector of pink (flicker) noise samples

% The function generates a sequence of pink (flicker) noise samples.

% Pink noise has equal energy in all octaves (or similar log bundles) of frequency.

% In terms of power at a constant bandwidth, pink noise falls off at 3 dB per octave.

% define the length of the vector

% ensure that the M is even

if rem(N,2)

M = N+1;

else

M = N;

end

% generate white noise

x = randn(1, M);

% FFT

X = fft(x);

% prepare a vector for 1/f multiplication

NumUniquePts = M/2 + 1;

n = 1:NumUniquePts;

n = sqrt(n);

% multiply the left half of the spectrum so the power spectral density

% is proportional to the frequency by factor 1/f, i.e. the

% amplitudes are proportional to 1/sqrt(f)

X(1:NumUniquePts) = X(1:NumUniquePts)./n;

% prepare a right half of the spectrum - a copy of the left one,

% except the DC component and Nyquist frequency - they are unique

X(NumUniquePts+1:M) = real(X(M/2:-1:2)) -1i*imag(X(M/2:-1:2));

% IFFT

y = ifft(X);

% prepare output vector y

y = real(y(1, 1:N));

% ensure unity standard deviation and zero mean value

y = y - mean(y);

yrms = sqrt(mean(y.^2));

y = y/yrms;

end

https://raw.githubusercontent.com/cortex-lab/MATLAB-tools/master/pinknoise.m

Prof. Hristo Zhivomirov

简介

Professor Zhivomirov is a member of IEEE, Federation of Scientific-Technical Unions in Bulgaria and Union of Scientists in Bulgaria. His research interests include the field of signal processing, electrical and electronics measurements and Matlab. Department of Theory of Electrical Engineering and Measurements in Technical University of Varna

MIT在线教程

https://www.youtube.com/watch?v=iTMn0Kt18tg

【待续】

。。

我来写一个大尺度的吧。

别误会，是真正的大尺度，宇宙尺度的傅里叶变换。

根据宇宙学原理，我们的宇宙是各向同性的，也就是说，从各个方向看过去应该是一样的。但是如果宇宙是完全均匀各向同性的话，就不会产生我们现在观测到的各种大尺度结构了。我们都知道是随机涨落产生了现在宇宙中各种自引力束缚结构的种子。但是，除了随机涨落，宇宙的密度涨落还有别的什么成分吗？因此，天文学家们就想着通过测量宇宙的密度涨落来研究宇宙的结构和演化，并且成功发现了著名的重子声波振荡（BAO）:

那么，要怎么计算密度涨落呢？答案是：数星系。

对，你没看错，就是这么简单。星系作为宇宙中可见物质的重要零部件，很好的示踪了宇宙中的密度分布。因此，星系中的两点相关函数，也就被广泛用于计算宇宙密度场。所谓的两点相关函数，就是在距离为r处发现两个星系的概率，公式长这样：

就是密度涨落场

那么，傅里叶变换在里面起到什么作用呢？这就要提到功率谱了。傅里叶变换是把时域的信号转换成频域的信号，功率谱就是频域信号振幅的平方：

其中的 是 的傅里叶变换：

是某个比较大的体积，在其中 是周期性的。

由于采样的星系是离散的，要转换成连续分布的密度场还需要引入一个泊松误差1/N（shot noise）：

的上标是离散（discrete）的意思。N=n ，n是平均数密度。其中 长这样：

是 体积内的星系数目，由于 取得非常小， 只有0，1两个取值。

用这个式子就能算宇宙密度场的功率谱了。

当然，由于实际操作中星系数量十分巨大，直接用上面的式子计算是不太现实的，所以需要用到快速傅里叶变换（FFT），把巡天区域分成离散的网格点，然后用某种窗口函数W做weighting，把离散的星系点做平滑之后再用FFT计算功率谱。

这是另一个故事了，我也还在学习中，什么时候搞懂了再写吧。

最后，这个视频是我见过的最通俗易懂的傅里叶变换的讲解了，这个up的其他作品都很好，墙裂推荐！！！

这个问题简直是为了恒星震动而生的！

• 恒星震动

恒星是一团很热的等离子气体，在引力和气体压力的平衡下保持稳定。但是，如果其内部有一些扰动，那么恒星的结构就会发生周期性的震动，这就是恒星震动。

恒星震动的一个结果就是，恒星的亮度会发生周期性的变化。所以天文学家通过观测恒星亮度的变化，即可知道恒星是否在震动，也可以把观测和理论做对比，探测恒星内部结构。

• 光变曲线

现在以一颗星为例，演示一下傅里叶变换在星震里的作用。

开普勒卫星很厉害，对着天鹅座和天琴座之间的一片天区连续观测了四年，天文学家下载好了某一颗星的亮度数据，也就是光变曲线，如下图

横轴为时间，纵轴为亮度。但啥也看不出来是不是？那我们放大看看

放大看好像能看出一点问题了，似乎恒星的亮度在上下波动？但这个波动是真的吗？还是只是测量的不确定度造成的呢？于是我们做个傅里叶变换。

• 傅里叶变换

具体怎么做傅里叶变换可以看这篇文章。

做完傅里叶变换后，我们终于看到了一些东西。。

上图就是把光变曲线做完傅里叶变换后的样子，即功率谱。其横轴是频率，单位是天分之一，纵轴是振幅。简单来说，如果光变曲线里有一个频率为 的信号，那么在功率谱里频率 的地方就会有一个峰。

• 引力模式和压力模式

功率谱明显分成两部分，左边的低频信号和右边的高频信号。低频信号（在1天分之一）是恒星内核的震动，回复力为浮力，我们叫它们重力模式。高频信号（18天分之一那里）是恒星外层的震动，回复力是压力，我们叫它们压力模式。

我们先来看压力模式：

上图展示了压力模式某一个震动频率的分裂。分裂的原因是表面的自转。由于自转的原因，震动频率会分裂成三个，分裂大小即等于表面自转频率。所以这颗星的表面的自转大约就是0.01天分之一，即大约100天转一圈。

现在再说说引力模式。引力模式发生在恒星内部，其震动频率较低。上图即为这颗星的引力模式，可以看到每一个峰都分裂成了两个，而且有一系列的峰。分裂成两个即为内核自转造成的，而所谓一系列的峰为不同径向节点数的泛音。。好吧我也不知道怎么举例了。。

理论上预言，引力模式一系列峰，以周期为单位的话，应该会等间隔。我们画一下看看

上图还是功率谱，但是轴坐标为周期了，即频率的倒数。现在可以看到，引力模式的一系列峰确实是近似等间隔的，都在2100秒上下波动，有波动的原因是内部元素梯度。所以天文学家就可以用这个来推算内部氢燃烧阶段，以及元素混合的程度。

自转分裂用加号和减号标注出来了。对于引力模式，自转分裂等于自转频率的一半，算出来这颗恒星的内核自转速度也差不多是100天一圈，和表面一样。

所以我们用压力模式简单算了下表面的自转，又用引力模式算了内核的自转，发现都是一百天。这颗恒星这么巨大，也都是气体不是固体，自转速度从里向外居然是一样的！

• 更多的例子

这个还是个功率谱，还是引力模式，但是你会发现这一系列的峰（红色点点）的间隔变得越来越小了，这是因为内核自转太快了，大约是0.8天。

上图是我们太阳的功率谱，你会发现这些峰在频率上几乎是等间隔，而且会一组一组地出现。

• 总结

恒星不是不变的，恒星也会震动。但是直接看震动信号的话，很难看出什么，做过傅里叶变换后，就可以看到一个个的震动频率了。天文学家就可以用这些震动频率去推测恒星内部的环境，也可以检测当前物理模型是不是正确。

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