傅里叶变换等于自身的函数有哪些？
傅里叶变换等于自身的函数，在数学的广阔天地里，犹如一些奇妙的“守恒”现象，它们在时域（描述信号随时间变化的规律）和频域（描述信号包含哪些频率成分）之间转换后，竟然能保持不变，这本身就充满了数学的优雅与深刻。
要理解哪些函数在傅里叶变换下会“等于自身”，我们得先明白傅里叶变换到底做了什么。简单来说，傅里叶变换就像一个“棱镜”，能将一个复杂的信号分解成一系列不同频率的正弦（或余弦）波的叠加。它揭示了隐藏在信号背后的频率构成。
那么，什么才算是“等于自身”呢？这并不是说变换后的函数和原来的函数在每一个点上都完全一样（那样的话，除了零函数，几乎没有其他函数能满足），而是指它们在数学形式上保持了某种等价性，或者说，它们在某些核心的性质上保持了不变。
能与傅里叶变换“握手言和”，保持不变的函数，最典型、最核心的代表，就是高斯函数（Gaussian Function）。
高斯函数：傅里叶变换的“不二之选”
高斯函数，也被称为正态分布函数，它的形态通常是那个优美、对称的钟形曲线。数学上，一个最简单的高斯函数形式可以写作：
$f(x) = e^{ax^2}$
其中，$a$是一个正实数常数，它控制着钟形曲线的“胖瘦”。$a$越大，曲线越窄；$a$越小，曲线越宽。
我们来瞅瞅这个高斯函数在傅里叶变换下的表现。如果我们将$f(x) = e^{ax^2}$进行傅里叶变换（在这里我们用$F{f(x)}$表示傅里叶变换），得到的结果是：
$F{f(x)} = sqrt{frac{pi}{a}} e^{frac{pi^2}{a} u^2}$
这里，$u$是频率域的变量。
你可能会说，“嗯？这好像和原来的函数不一样啊，多了一些系数，而且指数里的$a$也变成了$frac{pi^2}{a}$！”
没错，从精确的函数形式上看，它确实改变了。但是，这里的“等于自身”更多地体现在一种“家族”内的传承。你看，变换后的函数，依然是一个高斯函数！ 它的形状（钟形曲线）没有变，只是“胖瘦”和“高度”（由系数决定）发生了改变。
更进一步说，如果我们选择一个特定的高斯函数，比如 $f(x) = e^{pi x^2}$ （这是一个在信号处理和物理学中非常常见且方便的形式），它的傅里叶变换是：
$F{e^{pi x^2}} = e^{pi u^2}$
看！这次是真的“等于自身”了！ 连指数里的常数和$u$的平方项都一模一样。这才是高斯函数中最让人惊叹的“不变性”。
为什么高斯函数会有这种神奇的属性？
这背后涉及到数学上的深层原因。傅里叶变换本质上是将函数分解到正交基（正弦和余弦波）上。高斯函数的性质，特别是它在时域和频域的“紧凑性”和“平滑性”的平衡，使得它在这种基的变换下能够保持其“高斯”的身份。
想象一下，一个非常“尖锐”的高斯函数（$a$很大），它在时域上集中在一个很小的区间，但根据不确定性原理（这个概念在量子力学里也常用，两者有数学上的联系），它在频域上的分布就会很“宽”。反之，一个“平缓”的高斯函数（$a$很小），在时域上分布宽，在频域上就会集中。而 $e^{pi x^2}$ 这种形式，恰好在时域和频域的“展布”上达到了某种平衡，使得变换前后性质最接近。
还有其他“近似”的例子吗？
虽然高斯函数是“标杆”，但我们也可以看到一些其他函数在某种程度上也表现出“近似”的性质。
短时窗函数（ShortTime Window Functions）：在信号处理中，我们常常会使用一些窗函数（如汉宁窗、海明窗等）来截取信号的某个片段。这些窗函数本身也大多是平滑的、有限的波形。虽然它们的傅里叶变换不完全是它们自身，但它们在频域的“旁瓣”（不希望出现的频率成分）相对较小，并且主瓣（主要频率成分）的宽度也具有一定的可控性。它们在变换后，仍然表现出“窗”的特点。
冲激函数（Dirac Delta Function）：严格来说，冲激函数 $delta(x)$（定义为在$x=0$处无限大，在其他地方为零，并且积分为1）的傅里叶变换是 1。这个“1”可以被看作是一个在所有频率上都均匀分布的常数函数。所以，冲激函数变换成了一个常数函数，这可以说是“性质”上的巨大改变，但从“信息”角度看，它包含所有频率成分，只是分布方式极端。这是一种非常特殊的“不变性”，虽然形式差异很大。
指数衰减函数（Exponentials）：像 $f(x) = e^{ax} u(x)$（其中$u(x)$是单位阶跃函数，表示$x ge 0$时为1，$x < 0$时为0），它的傅里叶变换是 $F{f(x)} = frac{1}{a+iu}$。这个结果和原来的指数函数在形式上差异较大，但它们都是“衰减”的函数，只不过在频域上表现为一种复数形式的“幅度频率”关系。
总结一下
当我们说傅里叶变换“等于自身”的函数，最核心、最精确的例子就是高斯函数，尤其是形式为 $e^{pi x^2}$ 的那个。它在经过傅里叶变换后，数学形式上保持不变，这是它独一无二的数学魅力所在。
其他一些函数，比如冲激函数，虽然变换后形式差异巨大，但在描述信息（如包含所有频率）上表现出某种极端的一致性。而像窗函数等，虽然不是严格等于自身，但在时域和频域的“形状”上，也有着令人称道的“稳健性”。
这些函数之所以能够与傅里叶变换“和谐相处”，保持其“身份”，往往是因为它们在时域和频域的“平滑度”和“集中度”之间达到了某种精妙的平衡。它们是傅里叶分析工具箱中不可或缺的“基础块”，理解它们，也就理解了傅里叶变换最深刻的奥秘之一。
要理解哪些函数在傅里叶变换下会“等于自身”，我们得先明白傅里叶变换到底做了什么。简单来说，傅里叶变换就像一个“棱镜”，能将一个复杂的信号分解成一系列不同频率的正弦（或余弦）波的叠加。它揭示了隐藏在信号背后的频率构成。
那么，什么才算是“等于自身”呢？这并不是说变换后的函数和原来的函数在每一个点上都完全一样（那样的话，除了零函数，几乎没有其他函数能满足），而是指它们在数学形式上保持了某种等价性，或者说，它们在某些核心的性质上保持了不变。
能与傅里叶变换“握手言和”，保持不变的函数，最典型、最核心的代表，就是高斯函数（Gaussian Function）。
高斯函数：傅里叶变换的“不二之选”
高斯函数，也被称为正态分布函数，它的形态通常是那个优美、对称的钟形曲线。数学上，一个最简单的高斯函数形式可以写作：
$f(x) = e^{ax^2}$
其中，$a$是一个正实数常数，它控制着钟形曲线的“胖瘦”。$a$越大，曲线越窄；$a$越小，曲线越宽。
我们来瞅瞅这个高斯函数在傅里叶变换下的表现。如果我们将$f(x) = e^{ax^2}$进行傅里叶变换（在这里我们用$F{f(x)}$表示傅里叶变换），得到的结果是：
$F{f(x)} = sqrt{frac{pi}{a}} e^{frac{pi^2}{a} u^2}$
这里，$u$是频率域的变量。
你可能会说，“嗯？这好像和原来的函数不一样啊，多了一些系数，而且指数里的$a$也变成了$frac{pi^2}{a}$！”
没错，从精确的函数形式上看，它确实改变了。但是，这里的“等于自身”更多地体现在一种“家族”内的传承。你看，变换后的函数，依然是一个高斯函数！ 它的形状（钟形曲线）没有变，只是“胖瘦”和“高度”（由系数决定）发生了改变。
更进一步说，如果我们选择一个特定的高斯函数，比如 $f(x) = e^{pi x^2}$ （这是一个在信号处理和物理学中非常常见且方便的形式），它的傅里叶变换是：
$F{e^{pi x^2}} = e^{pi u^2}$
看！这次是真的“等于自身”了！ 连指数里的常数和$u$的平方项都一模一样。这才是高斯函数中最让人惊叹的“不变性”。
为什么高斯函数会有这种神奇的属性？
这背后涉及到数学上的深层原因。傅里叶变换本质上是将函数分解到正交基（正弦和余弦波）上。高斯函数的性质，特别是它在时域和频域的“紧凑性”和“平滑性”的平衡，使得它在这种基的变换下能够保持其“高斯”的身份。
想象一下，一个非常“尖锐”的高斯函数（$a$很大），它在时域上集中在一个很小的区间，但根据不确定性原理（这个概念在量子力学里也常用，两者有数学上的联系），它在频域上的分布就会很“宽”。反之，一个“平缓”的高斯函数（$a$很小），在时域上分布宽，在频域上就会集中。而 $e^{pi x^2}$ 这种形式，恰好在时域和频域的“展布”上达到了某种平衡，使得变换前后性质最接近。
还有其他“近似”的例子吗？
虽然高斯函数是“标杆”，但我们也可以看到一些其他函数在某种程度上也表现出“近似”的性质。
短时窗函数（ShortTime Window Functions）：在信号处理中，我们常常会使用一些窗函数（如汉宁窗、海明窗等）来截取信号的某个片段。这些窗函数本身也大多是平滑的、有限的波形。虽然它们的傅里叶变换不完全是它们自身，但它们在频域的“旁瓣”（不希望出现的频率成分）相对较小，并且主瓣（主要频率成分）的宽度也具有一定的可控性。它们在变换后，仍然表现出“窗”的特点。
冲激函数（Dirac Delta Function）：严格来说，冲激函数 $delta(x)$（定义为在$x=0$处无限大，在其他地方为零，并且积分为1）的傅里叶变换是 1。这个“1”可以被看作是一个在所有频率上都均匀分布的常数函数。所以，冲激函数变换成了一个常数函数，这可以说是“性质”上的巨大改变，但从“信息”角度看，它包含所有频率成分，只是分布方式极端。这是一种非常特殊的“不变性”，虽然形式差异很大。
指数衰减函数（Exponentials）：像 $f(x) = e^{ax} u(x)$（其中$u(x)$是单位阶跃函数，表示$x ge 0$时为1，$x < 0$时为0），它的傅里叶变换是 $F{f(x)} = frac{1}{a+iu}$。这个结果和原来的指数函数在形式上差异较大，但它们都是“衰减”的函数，只不过在频域上表现为一种复数形式的“幅度频率”关系。
总结一下
当我们说傅里叶变换“等于自身”的函数，最核心、最精确的例子就是高斯函数，尤其是形式为 $e^{pi x^2}$ 的那个。它在经过傅里叶变换后，数学形式上保持不变，这是它独一无二的数学魅力所在。
其他一些函数，比如冲激函数，虽然变换后形式差异巨大，但在描述信息（如包含所有频率）上表现出某种极端的一致性。而像窗函数等，虽然不是严格等于自身，但在时域和频域的“形状”上，也有着令人称道的“稳健性”。
这些函数之所以能够与傅里叶变换“和谐相处”，保持其“身份”，往往是因为它们在时域和频域的“平滑度”和“集中度”之间达到了某种精妙的平衡。它们是傅里叶分析工具箱中不可或缺的“基础块”，理解它们，也就理解了傅里叶变换最深刻的奥秘之一。
网友意见
由于 所以对于任何函数
令
就有
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