傅里叶级数和傅里叶变换是什么关系？
一、 什么是傅里叶级数？—— 把“周期性的”信号分解成“简单的”正弦波之和
你可以想象一下，你手里有一个特别复杂的、但又会规律性地重复出现的波形，比如一个方波、锯齿波，甚至是更复杂的、有规律的机械振动信号。傅里叶级数的目的，就是把这个复杂的周期性信号，分解成一堆最最基本的“积木块”——也就是不同频率、不同幅度和不同相位的正弦波（或者说三角函数，比如正弦和余弦）。
举个例子，你想用乐高搭一个复杂的城堡，傅里叶级数就是告诉你，这个城堡可以分解成多少个不同形状、不同颜色的乐高积木，然后你可以把它们组合起来。
数学上来说，傅里叶级数就是把一个周期为 $T$ 的函数 $f(x)$ 表示成以下形式：
$f(x) = a_0 + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(frac{2pi nx}{T}) + b_n sin(frac{2pi nx}{T}))$
这里的 $a_0$ 是直流分量（就是信号的平均值），$a_n$ 和 $b_n$ 是随着 $n$ 变化的系数，它们决定了每个频率的正弦波（或余弦波）的“量”有多大。$n$ 随着 1, 2, 3... 这样无穷地增大，就代表了信号中包含了无限多个频率成分，这些频率都是基本频率（$1/T$）的整数倍，也叫做谐波。
傅里叶级数的“核心思想”就是：任何一个“足够好”的周期性函数，都可以由一系列不同频率的正弦波叠加而成。
二、 什么是傅里叶变换？—— 把“任意的”信号分解成“连续的”频率成分
现在，我们手上可能不是一个周期性的信号了，而是一个非周期性的信号。比如，你录下的一段语音、一闪而过的闪电信号，甚至是宇宙背景辐射的某个片段。这些信号往往是“一次性的”，不重复。
这时候，傅里叶变换就闪亮登场了。它做的“这件事”和傅里叶级数很像，都是要把信号分解成频率成分，但是它分解的方式更“细腻”、“更普遍”。
傅里叶变换，把一个非周期性的函数 $f(t)$（通常我们用 $t$ 表示时间）转换成一个函数 $F(omega)$，这个 $F(omega)$ 就代表了在每一个可能的频率 $omega$ 上，信号的“成分”有多强。
注意这里有几个关键点：
从“离散”的频率到“连续”的频率： 傅里叶级数分解的是整数倍的频率（谐波），而傅里叶变换分解的是所有连续的频率。你可以想象，傅里叶级数是把一个乐高城堡拆成不同“尺寸”的积木，而傅里叶变换则是把一个整体的材料（比如一块泥巴）分析成构成它的所有“原子”的组合，这些原子代表了连续的频率。
从“信号”到“频谱”： 傅里叶变换的结果 $F(omega)$，通常被称为信号的“频谱”。它告诉我们，在某个频率上，信号的“强度”（或者说“能量”）有多大。这就像我们对着一束光，用棱镜把它分解成红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫各种颜色的光，每种颜色光的强度加起来，就是原始的光。频谱就是信号的“颜色分布”。
数学上，傅里叶变换通常定义为：
$F(omega) = int_{infty}^{infty} f(t) e^{iomega t} dt$
这里的 $e^{iomega t}$ 是一种复指数函数，它包含了正弦和余弦信息，通过这个积分，我们就能得到在某个特定频率 $omega$ 下，信号 $f(t)$ 的“成分”。
三、 傅里叶级数与傅里叶变换的关系：兄弟俩，一脉相承
它们俩的关系，就像是从“特殊情况”推广到“一般情况”。
1. 傅里叶变换是傅里叶级数的推广：
你可以把傅里叶变换看作是傅里叶级数在“周期趋于无穷大”时的一个极限情况。
当一个周期性信号的周期 $T$ 变得越来越长，越来越长，长到它看起来就不再重复了，那么它就变成了一个非周期性信号。
想象一下，你有一个循环的动画，当你把播放速度放得非常非常慢，慢到它只播一次就结束了，而且不会再重复，这时候它就变成了一个非周期性的事件。
在这种“周期无穷大”的极限下，傅里叶级数中的离散频率（$n/T$）会变得越来越密集，最终趋于连续的频率。
2. 从概念上来说，它们都做同一件事：
都是为了将信号分解成不同频率的正弦波（或复指数函数）的叠加。一个关注的是周期信号的“离散谐波”，另一个关注的是非周期信号的“连续频率谱”。
打个比方来理解：
傅里叶级数： 就像一个音乐家，他知道一首循环播放的乐曲，可以分解成几个固定的音调（比如 C 大调、G 大调、E 小调）的组合。他告诉你，这首乐曲里，C 大调的成分有多少，G 大调的成分有多少。
傅里叶变换： 就像另一个音乐家，他面对的是一段没有规则的、一听就结束的音乐片段。他要告诉你，这段音乐片段里，包含从非常低沉的低音到非常尖锐的高音，每一个可能的音调（频率）的“量”有多大。
总结一下它们的核心区别和联系：
| 特征 | 傅里叶级数 | 傅里叶变换 |
| : | : | : |
| 适用信号 | 周期性信号 | 非周期性信号（也可以用于周期性信号） |
| 分解方式 | 分解成一系列离散的、整数倍的频率（谐波） | 分解成连续的所有频率 |
| 结果 | 频谱是离散的（只有在特定频率上有值） | 频谱是连续的（在所有频率上都可能有关联） |
| 本质联系 | 傅里叶变换是傅里叶级数在周期趋于无穷时的推广 | 都致力于将信号在频率域上进行表示（信号的组成成分） |
| 应用领域 | 信号分析、滤波器设计（特别是针对周期信号） | 图像处理、通信、数据压缩、物理学等广泛领域 |
所以，它们俩就像是同一个“分解信号”问题的不同版本。如果你处理的是会重复的东西，傅里叶级数很方便；如果你处理的是一次性的、或者不规则的东西，傅里叶变换就更强大、更普遍了。在很多实际应用中，比如数字信号处理，我们常常会用傅里叶变换来分析非周期信号，然后通过一些数学技巧（比如窗函数）来近似处理，达到类似傅里叶级数分解的效果。
希望这样解释，能把它们俩的关系讲清楚一些！
网友意见
之前写过两篇关于傅立叶变换的文章：
- 如何直观地理解傅立叶变换？
- 如何理解傅立叶级数公式？ （后面此文简称“代数细节”）
傅立叶级数是针对周期函数的，为了可以处理非周期函数，需要傅立叶变换。如果对傅立叶级数有疑问，请参看“代数细节”一文。
先看下思路：
- (a).周期函数，可以通过傅立叶级数画出频域图
- (b).增长周期，频域图变得越来越密集
- (c). ，得到傅立叶变换，频域图变为连续的曲线
下面是细节的讲解。
1 傅立叶级数
让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵（1768 －1830）猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。比如下面这个周期为 的方波，可以用大量的正弦波的叠加来逼近：
1.1 傅立叶级数是向量
从代数上看，傅立叶级数就是通过三角函数和常数项来叠加逼近周期为 的函数 ：
在“代数细节”一文中解释了，实际上是把 当作了如下基的向量：
那么上面的式子就可以解读为：
说具体点，比如刚才提到的， 的方波 ，可以初略的写作：
从几何上看，有那么一丁点相似：
我们可以认为：
此函数的基为：
则 相当于向量：
画到图上如下，注意坐标轴不是 ，而是 ：
1.2 频域图
再增加几个三角函数：
从几何上看，肯定更接近了：
此时基为：
对应的向量为：
六维的向量没有办法画图啊，没关系，数学家发明了一个频域图来表示这个向量：
上图中的 分别代表了不同频率的正弦波函数，也就是之前的基：
而高度则代表在这个频率上的振幅，也就是这个基上的坐标分量。
这里举的例子只有正弦函数，余弦函数其实也需要这样一个频谱图，也就是需要两个频谱图。当然还有别的办法，综合正弦和余弦，这个后面再说。
原来的曲线图就称为时域图（这点请参考“代数细节”），往往把时域图和频域图画在一起，这样能较为完整的反映傅立叶级数：
不管时域、频域其实反映的都是同一个曲线，只是一个是用函数的观点，一个是用向量的观点。
当习惯了频域之后，会发现看到频域图，似乎就看到了傅立叶级数的展开：
2 非周期函数
非周期函数，比如下面这个函数可以写出傅立叶级数吗？
这并非一个周期函数，没有办法写出傅立叶级数。
不过可以变换一下思维，如果刚才的方波的周期：
那么就得到了这个函数：
在这样的思路下，就可以使用三角级数来逼近这个函数：
观察下频域，之前说了，对于周期为 的函数 ，其基为（对此点有疑问的，可以看“代数细节”一文）：
刚才举的方波 ，对应的基就为（没有余弦波）：
对应的频率就是：
按照刚才的思路，如果 不断变大，比如让 ，对应的基就为（没有余弦波）：
对应的频率就是：
和刚才相比，频率更加密集：
之前的方波的频域图，画了前50个频率，可以看到，随着 不断变大，这50个频率越来越集中：
可以想象，如果真的：
这些频率就会变得稠密，直至连续，变为一条频域曲线：
傅立叶变换就是，让 ，求出上面这根频域曲线。
3 傅立叶变换
之前说了，傅立叶级数是：
这里有正弦波，也有余弦波，画频域图也不方便，通过欧拉公式，可以修改为复数形式（请参考“代数细节”一文）：
其中：
复数形式也是向量，可以如下解读：
不过 是复数，不好画频域图，所以之前讲解全部采取的是三角级数。
周期推向无穷的时候可以得到：
上面简化了一下，用 代表频率。
大致是这么得到的：
就是傅立叶变换，得到的就是频域曲线。
下面两者称为傅立叶变换对，可以相互转换：
正如之前说的，这是看待同一个数学对象的两种形式，一个是函数，一个是向量。
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文章最新版本在（有可能会有后续更新）：从傅立叶级数到傅立叶变换
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