数学中，类似 π、e 的独立的常数还有哪些？ 第1页

假装自己真的很懂地来说一个：费根堡姆常数（Feigenbaum Constant）。

这个意想不到的地常数来自于混沌研究中著名的倍周期分叉现象（period-doubling bifurcations）。美国数学物理学家米切尔·费根鲍姆（Mitchell J. Feigenbaum）在研究中发现，对于所有一维单峰映射，相邻分叉点间隔都会逐渐趋于一个特定常数，这个常数现被称作费根堡姆常数：

最著名的例子莫过于生物学家 Robert May 为了模拟生物种群数量变化而提出的逻辑斯蒂映射（logistic map），其数值序列可以由下述递推关系式表示：

其中 的取值介于0和1之间， 是一个介于0到4之间的常数。

可以验证，在 时，多次迭代后， 的值总会收敛到一个特定值，或者称为不动点（fixed point）。比如若取 ， 会迅速收敛到 0.5；若取 ， 会收敛到 0.6；更一般的，此类情况下总有

但是当 时，序列的行为就变得有意思起来了。例如取 ，最终 的值总会在 0.513... 和 0.799... 两个数值之间跳跃，可以成为系统的吸引子（attractor）。同样可以验证，一直到 前， 多次迭代后的 总会在两个数值间振荡，即系统的周期等于 2。

当 进一步增大超过 3.45，情况又会发生变化。例如取 ， 最终会在 0.383、0.827、0.501、0.875（精确到3位有效数字）这四个值之间振荡。类似的行为可以持续到 。也就是说在大约 3.45 至 3.544 的区间内，系统的周期较之前翻倍，变成了4。

继续增大 的取值，可以进一步发现在大约 3.544 到 3.564 的区间内，系统的周期再次翻倍，变成8。在大约 3.564 到 3.569 的区间内，系统的周期会变成16。。。

如果记 为系统的周期首次变成 时的临界值，精确的计算可以得到如下结果：

随着周期倍增，代表分叉的 之间的间隔也越来越小，直到系统完全进入混沌行为。进一步计算发现，相邻分叉点间隔逐渐趋于 ，即上文提到的费根堡姆常数。

很快，费根堡姆和合作者又发现，除了逻辑斯蒂映射以外，在其他单峰映射的系统里，倍周期现象分叉的收敛速度同样趋于了这个数字。比如下面的形式上非常简单的映射：

随着 的增长，同样会出现类似的倍周期分叉现象。其数值结果有

在诸如正弦映射 、复数域上的 等其他单峰映射中，费根堡姆也观察到了同样的收敛常数。作出了这个发现后，费根堡姆着手从原理上给出了数学证明。他用了场论中被称为重整化（renormalisation）的计算技巧，揭示了这个常数的普适性，也揭开了这些非线性动力学系统中看似无序背后的有序现象，在混沌系统研究的早期迈出了重要的一步。

更神奇的是，后来的发现表明，费根堡姆的理论不仅仅是单纯的数学现象，这套理论在不少物理系统内也得到了证实。例如在一个激光动力学的模型中，电场强度 跟激光增益 之间可以由一个双曲正切映射 来描述，模型预言的倍周期分叉现象可以由实验测量，得到的费根堡姆常数非常接近于 4.6692。这类倍周期分叉现象也在流体、电力系统、化学反应等等令人意想不到的地方得到了证实。

参考资料：

1. 维基百科词条：logistic map / Feigenbaum constants
2. 梅拉妮·米歇尔，《复杂》，湖南科学技术出版社

说一个跟 类似的常数 ！我们都知道圆周率 是圆的周长与直径的比，其实数学中还有下面这种曲线：

这种曲线称为半径为 的 Bernoulli 双纽线，简称为 双纽线.

现在我们也可以考虑 双纽线 的周长与直径的比. 我们不难得到 双纽线 在极坐标下的方程为 ，现以极径 为参数，可得 双纽线 的周长为

从而 双纽线 的周长与直径的比为

由此可知 双纽线 的周长与直径的比为一个常数，我们称这个常数为 双纽线周率，记为 . 由上面的推导可知

由定义可知 和 长的像两兄弟，不仅如此，它们还有类似的积分表达式

更有意思的是 还与下面这些级数有关系.

1、Khinchin 常数

记实数 的简单连分数展开 ，其中 ， 时

同时令

则对几乎所有实数(随便在数轴上取一个实数，不符合的概率为0)，均有

存在且趋近于同一常数，此常数称为Khinchin常数，记作

的无理性和超越性目前仍不知道

与 类似的有关连分数的常数还有一个Lévy常数：

对某实数 进行 阶连分数近似，也就是把 通分成 的形式，则可以证明对几乎所有实数，均有 ，这里的 就是Lévy常数，不过它不是独立于 的，故不单独列出。

2.Viswanath常数

这个常数和随机斐波那切数列有关，定义 ， ，其中的正负号各自都有 的概率取到，则几乎必然(概率为1) 会趋近于一特定常数 ，这个常数就是Viswanath常数

3.Foias常数

考虑数列 ，则是否存在某个 ，使得 发散到正无穷？

神奇的是，恰恰存在唯一的 满足条件，这个 就被称为Foias常数

4.Grossman常数

考虑数列 ， ，则是否存在某个实数 ，使得数列 收敛？答案是，仅存在唯一的 满足条件，其他条件下， 会在两个值之间震荡，但不收敛，这个常数就被称作Grossman常数。

这个的证明知乎上有，可以看：

5.Glaisher-Kinkelin常数

定义超阶乘(Hyperfactorial)函数 ,估算其增长阶可以得到：

是一个常数，这个常数就是Glaisher-Kinkelin常数，记作 ，大概是

它在一些定积分中经常出现，比如：

它有封闭形式： ，其中 表示黎曼zeta函数在 处的导数值

6.素数相关常数

这类常数有很多，就专门分出一个类来整理它们吧

1.Artin常数

记 是第 个素数，则

2.Backhouse常数

记系数为素数的幂级数

再令 ，将 进行幂级数展开，即

则相邻两项系数之比的绝对值趋近于一个定值，即 存在，大概是 ，这个数便是Backhouse常数

3.Brun常数

若两个素数相差2，则称两个素数为一对孪生素数，如3和5，5和7，11和13等。

Brun证明了所有孪生素数对的倒数和是收敛的，即 收敛，大概是 ，这个数便是Brun常数

而注意到所有素数的倒数和是发散的，因此孪生素数数量很少。如果这个求和是发散的，那就相当于证明了孪生素数猜想，即孪生素数对有无限个，但结果收敛就无法说明问题。

4.Mertens常数

和欧拉常数类似，极限 存在，大概是 ，这个数便是Mertens常数

5.Mills常数

Mills常数定义为最小的正数 使得对所有正整数 ， 都是素数，其中 表示向下取整，这个常数大概是

值得注意的是，有这个特性的常数不止一个，而Mills常数是其中最小的那个