北大的韦东奕大神与陶哲轩相比如何？ 第1页

下面是我个人的比较另类的看法：

据说这道题陶哲轩说他想了7个小时，当年中国队只有北大韦东奕才满分的一届国际奥数比赛题。而这里，给出了一个比较有意思直接的证明方式，里面的思维分析比较有欣赏价值。

50届IMO（俄罗斯提供）：

是一组互不相同的正整数， 是有 个元素的正整数集合，且不含元素 .一只蚱蜢沿着实数轴从0开始向右跳跃 步，它跳跃的距离是 的某个排列。证明：可以选择一种排列，使得蚱蜢跳跃落下的点所表示的数都不在集合 中。

证明：采用归纳法。

对于 ,显然成立；

对于 ,此时， 只有一个元素，显然蚱蜢第一次跳跃的距离可以选择不是 的元素即可；

假设对于 的所有 结论都成立。现考察 的情况。此时 .考虑

， 。由于 的元素只有 个，故一定存在 ,使得 。假设中除之后的正整数序列为,令，显然，。记 集合 ，则 ，集合 ，显然 。

① 若 中存在两个元素的值是一样的，不妨假设其为 ，令，由归纳假设，存在的一种排列，可以使得这只蚱蜢跳跃落下的点所表示的数都不在集合中，也不在集合 中（因为 中也有元素 ）。在此符合规则的序列下，再跳最后一跳的距离是，此时依然符合规则（因为最后一跳会落入对应数是的点上），故的时候结论也成立；

② 中的所有元素的值都是不一样的。若对于任意的 , ，由归纳假设知道此时存在的一种排列，使得得这只蚱蜢跳跃落下的点所表示的数都不在集合中，假设这样的排列下对应的落点序列其中一个是（也可能是有且只有一个）。但此时总存在正整数 (因为 )，有（否则，我们就在那个排列下最后再跳距离为 ，最后的落点 也不在 上，从而结论在 的时候也成立）。设 中最大的元素为 ， 中最大的项为 。此时：

②-1：若 ,则令上述的 ,令 ，则由归纳假设，此时存在的一种排列，可以使得这只蚱蜢跳跃落下的点所表示的数都不在集合中，也不在集合 中。此时，若存在正整数 ，有，则将此等式右边的最后一个 替换为 ,则此时令第 步跳的距离变为 。由于 是 ， 中最大的项(它们互相不相等)，故 ，又 是 中最大的元素，故 。之后跳的落点都将比 还要大，故都不在 中。从而结论在 的时候也成立；

②-2：若 。我们需注意到一个事实，对任意 ， 此时存在 ,有 。此时令 ，序列为中除之后的正整数序列，则此时 。由归纳假设可以得知存在的一种排列，可以使得这只蚱蜢跳跃落下的点所表示的数都不在集合中。且此时，这个排列下的最后一跳落下的点是 在 中。此时，将最后一跳的距离 替换为 ，若 ，则替换后跳的落点 。再最后跳的距离是 ,对应的落点是 ，同样也不在 中，故此时结论对也是成立的。否则，上面的过程的 都在 中，则对应 的不同落点有 个（ 遍历 的每个元素），都在 中, 令这些落点对应的数的集合 。这时候，其对应的落点序列（一定有一个，如果有多个，任取其中一个）为，其中 ，而且一定存在相应的正整数 ,有 ，分别表示这只蚱蜢第 次跳的距离是 。现在我们将 和 对调，这样的后果是：① 对调后的落点序列对于 依然满足题设，从而由前面分析可以知道此时结论对也是成立的； ② 对调后的落点在 中，或者对调后的落点不在 中，但此落点之后的落点有在 中的。对于后者，我们注意到，对任意以此 和 的对调，定义 ，显然对任意 ，都有 ，且都不在集合 中。因此对调后的落点一共有 个且它们之间互相不相等。注意到， ，因此至少有两个对调后的落点依然不在 中。令集合 ， , ， ，则 , 。注意到，若存在 ，若对任意 ,均有 ，则对调之后的落点序列依然对 满足题设，有前面分析知道此时结论对也是成立的。否则，对任意 ，都存在正整数 ，使得 。注意到，当 的时候， ，从而在 固定下，对任意 ，都有 。注意到 ，故此时一定存在 和 ，有 。令 ，序列 ,有归纳假设，序列 对 满足题设。假设这些落点是 。基于这个落点序列，我们在第 跳（这个落点序列最后一个落点的后面一跳）的距离为 ,此时的落点为 (因为 )，之后再最后一跳的距离为 ，落点为 ，故此时结论对也是成立的。

综上，有归纳假设，题设是对所有的正整数 都成立。命题得证！

个人感受：本人也十多年没有碰奥数题了，但我认为思维能力还是很重要的。这道题目个人觉得非常有意思，非常考究学生的思维能力：数学抽象建模能力（个人认为是非常重要的能力），例如前面我的证明过程中对集合 的抽象建立。不断分析各种场景（scenario），在现代高科技行业，这种能力是非常重要的，这是一位从事芯片行业的攻城狮的深刻体会。“数学是人类思维的体操”，人要保持健康活力，需要锻炼身体；思维要保持清晰愉悦，也要锻炼思维。

个人觉得韦神和陶神肯定智商搜超群，但学术上的事情是很受大环境影响的，其中的缘由我也不清楚，故不能发表太多看法。他们那种境界的人感觉没有绝对的可比性，有很多东西是需要环境因素，有一定的随机性。我上面的答案我是我自己想出来的，在网上和参考答案上绝对看不到一样的思路，但我肯定在数学上比他俩差！所以，不去比较吧，我们看以后的发展贡献，当然目前看陶神更胜一筹。