如何积 1/ln(x)？ 第1页

欧拉也思考过这个问题, 最后他发现这个无法用初等函数表达, 于是他规定 , 现代的证明则一般采用刘伟尔定理.

不过杀鸡焉用牛刀, 这也用不到完全体的刘伟尔定理, 用一个特化情形就行了.

体会下这种思想:

考虑积分 , 其中 为多项式.

那它的积分是不是应该是 的形式?

很容易验证的呀, 两边求导:

怎么着也非零吧, 消掉

如果 是个有理函数, 那么我们也期望 也是个有理函数

设 , 其中 为互质多项式函数, 代入得

整理下也就是

综上所述:
若 是有理函数, 是多项式函数, 那么 初等的充要条件就是:
存在互质多项式 使得 成立.

于是我们就证明了刘伟尔定理的指数多项式情形, 其实也可以从刘伟尔定理特化得到, 就这样已经很强大了...

我们来考虑积分 ...

什么, 你问为什么不直接做题要考虑这个?

笨啊,变量替换啊

选取 , 代入化简得

中 叫重根或者重点, 叫重数或者重根数这个懂吧

因为 为多项式, 所以在复数域中必有零点, 设零点 , 其重数为

由于 为互质多项式, 所以 的重数为

若

则 既是 的重根,重数显然

且右边 的重根重数为

矛盾!

若 ,令 好了,代入原式有

仍然同时是左右两边的重根, 左边重数 ,右边为 ..GG

还是矛盾!

好吧那么假设 不是多项式而是常数

于是有 , 由上可知同样不行

重数还是矛盾!

于是综上所述 非初等, 无法表示成初等函数....

那么就只能规定 了啊...