数论在物理学中有哪些具体应用？ 第1页

提一点数论和物理的联系：

1.考虑函数 ，这里的 为黎曼zeta函数而 为欧拉函数。该函数 可以视为序列 取到极限的结果，这里的 是对欧拉函数的近似。对于 ,定义 为 阶的循环群，在 上定义系数

那么 。

现在令 ，那么 可以描述一个自旋链中所有自旋的状态。其第i个分量取0或者1代表自旋链中第i个自旋是自旋朝下还是自旋朝上。考虑 中一个特殊的元素 ,且对于 定义

以及 上的两个函数 ，其中

的特征标所构成的群 与 是同构的，对于 特征标函数为 ,当 时令 。

按照上面的定义，我们因此可以视集合 为物理可观测量的集合，其中 为正则能量函数。此时这样的自旋链的配分函数为：

所以在自旋链中有无穷多个自旋的时候，体系的配分函数为 对于 中的可观测量 ，其傅里叶变换为

如果满足 则称其为严格铁磁性的，如果对于 则称其为弱铁磁性的。显然 不是严格铁磁性的。之所以这样子构造出一个自旋链模型使之配分函数为 是因为根据统计物理中的Lee-Yang定理，我们可以把这个涉及到黎曼zeta函数的配分函数零点与统计物理模型的性质相联系在一起，从而提供了黎曼猜想的一种物理表述。有关于利用这一种统计物理方式来实现黎曼猜想并尝试证明的详细内容见

S. Okubo, J. Phys. A 31 (1998) 1049–1057:Lorentz-invariant hamiltonian and Riemann hypothesis;

A.Connes,C.R.Acad.Sci.323(1996)1231:Formule de trace en géometrie non-commutative et hypothèse de Riemann

J.-B.Bost,A.Connes,SelectaMath.(New Series)1(1995)411:Hecke algebras, type III factors and phase transitions with spontaneous symmetry breaking in number theory

和上面这几篇文章中方法和思想的review:P.B. Cohen, Dedekind zeta functions and quantum statistical mechanics, Preprint ESI 617(1998)

而关于上述配分函数为黎曼zeta函数的自旋链体系构造参见

Comm. Math. Phys.153(1):77-115(1993).Andreas Knauf:On a ferromagnetic spin chain

在该铁磁自旋链的启发下构造出统计物理中的Riemann-Beurling gases模型及其可能的物理应用详见

B.L. Julia, "Thermodynamic limit in number theory: Riemann-Beurling gases",Physic a A203 425-436.

以及B.L julia,"Statistical theory for number" from "Number theory and Physics M. Waldschmidt,et. al.(eds.), Springer Proceedings in Physics47(Springer,1989)"

2.。记 为把一个正整数 拆分成 个小于等于 的正整数之和的方式的数目， , 为把一个正整数 拆分成 个彼此不同的小于等于 的正整数之和的方式的数目， 。上面这四个数之间的关系为：

考虑一个由 个彼此之间没有相互作用的线性谐振子所组成的系统，那么该系统的能级为 ,假设该系统的能量为 ，那么定义一个数

在取单位能量为 的情况下代表这个系统中掉了谐振子本身能量以外的能量.记 为整个系统中处于能级 上的不可分辨波函数的数目

. 时，系统采用玻色-爱因斯坦统计；

时，系统采用费米-狄拉克统计；

时，系统采用麦克斯韦-玻尔兹曼统计.

系统的配分函数为： ，从配分函数出发我们可以分别得到系统的其余热物理量为： 此时有 .利用这些公式，我们可以得到：

采用玻色-爱因斯坦统计时，

在 远小于1时，上面这两个展开式有：

这里的 为伯努利数， .而当 远大于1时，根据欧拉近似积分公式有：

把上面这四个式子分别带入 的式子我们得到：

远小于 时有

远大于 时有

综合起来我们便得到了 这里的 代表把正整数 表达为正整数之和的不同方式。而这个公式也正是数论中，哈代和拉姆努金证明的公式。同时我们可以得到：

其中