向心力加速度公式 a=v²/r 是怎么推导出来的（要详细过程）？ 第1页

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给一个不太一样的视角，从数学的角度考虑这个问题。

一个质点的运动可以描述为一条光滑的参数曲线

其中就是参数时间。这个质点的速度是，加速度是。首先我们着手建立一个不依赖的基的坐标系，即自然坐标系或者Frenet标架。

Frenet标架

我们考虑一般的曲线运动，也就是与处处线性无关。

速度矢量是曲线的一个切矢量，对应方向上的单位矢量记为

我们考虑的是曲线本身的几何性质，所以要找到一个比时间更好描述曲线运动的参数——弧长。注意到这两个参数的变换Jacobian

恰好是速率。下面先暂定曲线的参数取为，最后再换回时间。

以为参数能立刻得到一个有用的结论：注意到是单位矢量，长度不变，于是有

也就是与处处正交。

单位切矢沿曲线的变化率可以表征曲线的弯曲程度，我们定义

称为曲线的曲率。在方向上的单位矢量记为

最后我们定义一个正交于和的单位矢量：

这样就构成了一个随曲线运动的右手单位正交标架，称为Frenet标架。对应的三个坐标轴分别称为切线，主法线和次法线。

运动学方程

现在我们回到以时间为参数的情况，给出Frenet标架下的运动学方程。

从速度公式

出发，求导得

这里沿切线的加速度分量是，沿主法线的加速度分量是。

匀速圆周运动

回到题目中最特殊的情况——匀速圆周运动。首先我们来求圆的曲率。圆关于弧长的参数方程为

单位切矢

曲率

即半径为的圆的曲率是。

对于匀速圆周运动，线速度恒定，于是加速度就是

其中单位矢量是时时刻刻指向圆心的（与位置矢量方向相反）。

其实上面的推导绕了很大一圈，但是这个方法的好处是能够推广到各种各样的曲线运动。

^[1]

参考

1. ^ 陈维桓《微分几何》