在开区间上无界的连续函数一定不一致连续吗？ 第1页

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开区间上的有界连续函数

它不一致连续。

但闭区间上连续函数一定一致连续，这两个情况完全不同。

开区间上的无界连续函数

开区间上的无界连续函数一定非一致连续吗？也就是说，存在开区间上的一致连续的函数吗？

分两种情况，在有限开区间和无限开区间。

• 在无限开区间上

这是一致连续函数。

证：∀x₁，x₂∈( 1, +∞ )

于是 g(x) 在( 1, +∞ ) Lipschitz 连续，必一致连续。

• 在有限开区间上

这种情况是不可能一致连续的。

证：假设 h(x) 是 ( a, b )上的无界连续函数，我们知道 h 必然在边界无界，在其余的地方有界，否则不连续，矛盾。我们不妨设 h(a) = +∞，于是存在两个趋于 a 的点列，当n充分大时有：

这两个点列存在可由函数的介值性保证。故 h(x) 非一致连续。

一致连续比较形象的理解是：

对于曲线上任意一点，存在一段“管子”（如上图）。随着点在曲线上的移动，管子也跟着移动，但要保证水平。如果管子可以不接触到曲线，完美走过所有点，则函数被称为一致连续。

这个说法是在裴礼文书上看到的。

生活中有类似的游戏，就是用一个小环套在铁丝曲线上，参与者要将小环从起点移至终点，全程不能触碰曲线，否则会引起警报。只不过，这种游戏不会限制小环调整角度，但“一致连续游戏”难度有点大——不允许调整角度。

如果不存在这样一根管子，那函数非一致连续。