如何解释物理学中的「维度」这一概念? 第1页

谢邀。

空间维度

我曾经悟出一个很形象的关于维度的说明，这个描述的本质是拓扑的，但很可惜，后来我知道这不是我的首创。先来举三个简单的例子。

例 1

在数轴这个度量空间上，选取两点 和 ，以 为球心，以 为半径作球 （这个球的闭包在 1 维空间中就是区间 ，类比一下圆、球的定义）；很显然 将 和 分离，换句话说，从 0 到 2 不存在这样的连续曲线将两者相连：

1. 曲线必须完全在数轴上；
2. 曲线不可穿过球面，也就是区间端点。

但是，如果我们把第一个条件去掉，结果就不成立了，这是显然的：将数轴放在一个平面上，而区间在平面上并不是封闭的，0 点不再是笼中鸟，飞的时候只要不故意碰壁——区间端点，绝对能逃脱成功！

千言万语汇成一句话：

一维的牢笼要从二维空间中逃脱。

由例 1 的启发，我们将这个结论类推广到平面上。

例 2

孙悟空要去化缘，但是担心白骨精诱惑唐僧，于是在地面上画了一个圈，并且说：只要不出这个圈，妖精不会拿你怎么样。

问：唐僧如何主动送人头被白骨精吃掉，在不踩到悟空画的圈的前提下。

答：抬脚迈一步。

好了，我想你明白了什么。

例 3

问：孙悟空被银角大王收到了葫芦里怎么办？

答：元神出窍进入四维空间绕出去，找太上老君帮忙。

归纳总结

如果是 n 维球内的点，如何不碰壁逃到球外呢？结论就是，在现有的 n 维空间是不可能的办到的，而只有引入新的维度，原本“封闭的”的球空间在新拓展的空间中才是“开放的”，这就是维度的特点和意义。只要给定 n 维空间，就可以引入 n+1 维空间，有了这个假设，那么只要定义 1 维空间就可以了，而前三个空间的引入我们在前面已经叙述完毕（也可以从定义 0 维空间开始）。看得出，我走的是数学归纳法的流程。

并且这种理解方法与“维度”字面意思深深契合：“维”，维系、连接之意；“度”，度量、程度之意。

鸡汤预警

……其实人生也是这样，当你被现实困在牢笼中的时候，不要灰心绝望，其实是你看待问题的维度太低，只要多想想其他方面，或许你会豁然开朗，看到来自另一个维度的曙光，化不可能为可能。而人生，本来就是不断突破固有维度的过程。

从低维看高维

有一次，我和女朋友逛商场，地面是一块块方砖，我的手影被天顶的灯垂直投影到一块方块内。我想，假如此时将每一块方砖想象为一间间密室，那么我的手影被困在里面，密室内的人（假如有人的话）也是这么认为的。我缓缓地移动手影，令人惊心动魄的事情发生了，在密室内的人看来，我的手直接穿过了墙，到达了另一间密室（其实是手影穿过了墙，但在密室人的眼中，手影就是手的本体，因为密室人完全看不到第三个维度）。

那么，如果是一个四维空间的人，想要穿梭密室，而在我们三维空间的人眼中就是在穿墙，贞子差不多就是这样的操作。并且，如果我们想要攻击四维人，很有可能打的仅仅是他的影子，他躲进第四个维度里就可以了；而他想攻击三维人的时候，只需要悄悄从第四个维度靠近我们所在的超平面——三维空间，然后接触我们，而在我们眼中就是影子“实体化”的过程（空间忍术）。并且最可怕的是，四维人想要在三维空间行凶，根本就不存在所谓的“密室杀人”，密室只是相对于我们而言罢了，金田一怕是给跪了。

温馨提示：以下是选读内容，如有不适感，请勿见怪。

*抽象空间的维度

其实空间、维数的概念不仅仅停留在具体三维的空间中，事实上数学、统计、物理等学科讨论的空间往往都不再是我们平常的空间，而是与欧式空间“等价”(同构)的空间，把这些性质相同的空间抽象为一个方便大家使用的工具，这是数学家的本职工作。

从共面到线性相关

在中学阶段我们就接触过有关向量的概念：不仅有大小，并且还具有方向的量，比如说力、位移、速度、加速度、动量、冲量……向量是他们共同的名字。向量可以进行加法、数乘两种运算，我们把所有的向量配备上这两种运算（八条公理）构成的集合，称为线性空间（向量空间），如果还配备了角度（内积）的概念，我们称之为欧式空间。

在线性空间中，引入维数这个概念之前，需要介绍线性相关这个概念，它是关于一组向量满足的简单关系，用几何的概念去理解，就是所谓的向量共线、共面概念的推广。比如，

• 两个向量线性相关时，就是指这两个向量共线，即它们所在的直线平行或者重合；
• 三个向量线性相关时，就是指这三个向量共面，即它们所在的平面平行或者重合；

它们的共同点是：

• 因为共线，所以由这两个向量所围成的平行四边形的面积为 0 ；
• 因为共面，所以由这三个向量所围成的平行六面体的体积为 0 ；

以上两个现象用数学公式表达，就是这个样子：

等价于：

其中 是实数域中不全为零的系数。

好，大儿子叫金吒，二儿子叫木吒，三儿子应该起名叫做——李狗蛋？将共线、共面的概念推广到 维空间，就是——

定义

有 个向量，如果存在 个不全为零的实数，满足下面关系：

那么，我们称这 个向量线性相关；否则，如果不存在这样 个实数满足上面关系，那么我们称这 个向量线性无关.

根据定义，只有一个向量线性相关时，那这个向量一定是零向量。

几何意义

个向量线性相关的几何意义，就是这 个向量全都可以通过平移，放到 维空间中的一个 维超平面内。

线性无关的几何意义就是，这这 个向量没办法放到同一个 维超平面内，换句话说，由这 个向量所围成的平行多面体的体积不为零。可见，只有线性无关，才能在 维空间内撑起一片天地，否则就是薄纸一张。

维数

如果在某线性空间内，存在 n 个向量线性无关，而任意 n+1 个向量线性相关，那么这个空间我们称之为 n 维空间。

例 5

可能你对线性无关觉得不可思议，我举个简单的例子：

假设存在两个不全为零的数，满足：

于是只有

矛盾，于是两向量线性无关。

应用

空间、维数的概念十分广泛，不仅仅是可见的才是空间，有时候不可见的事物也可以使用空间的理念去解构它，比如统计学中的多元线性回归一整套理论，堪称典范。

例 6

比如在解释1949年~1959年法国进出口总额 与相关变量（国内总产值 、存储量 、总消费量 ）的关系时，通过数据建立模型（数据省略，反正没人看）：

但是这个模型有很严重的问题，国内生产总值怎么会和进出口总额负相关呢（ 系数为负）？这不符合经济规律。这其中蕴含的深刻道理就是： 、 、这三个自变量，可能“几乎共面”、“几乎线性相关”，用统计学术语叫做存在多重共线性。仔细观察这三者的相关系数矩阵

与 的相关系数高达 0.997 ，也就是说这两个向量的夹角只有 4 度左右！差一点就重合了。要知道，我们理想的状态是，每个解释变量相互独立、各司其职，各自解释各自领域的原因。但是，相关性太高意味着两个变量对因变量的“贡献”相当大一部分重叠了，这就没啥意思了。可以通过消除多重共线性来修正模型（岭估计、主成分估计），这就不多介绍了。

注：本例出自知名学者唐年胜、李会琼女士的《应用回归分析》，两位都是我本科的老师，我时常想念两位。

例 7

以前写的一篇文章，有可能是我的原创。

推广

无穷维的希尔伯特空间，分形里的实数维空间，维数的概念快被玩坏了，以后有机会再䃼充。

感谢阅读！