有限次博弈是否存在合作关系？ 第1页

当然存在合作，也不需要行为经济学上的解释就能达成， @epsilon-delta 说的就是正解，我举个例子阐述一下。其实我认为这么明目张胆的说“只有无限期才会存在合作”，都是通用的四个小方格式的博弈论图示闹腾的，为了抖机灵让问题丧失了一般性（这个机灵就是，你看无论有几次博弈，一千次一万次一亿次，只要是有限次，我都能严格证明合作是不存在的！出乎意料之外，又在情理之中）。就像下面这样：

我和同学一起吃饭，说好饭钱不分彼此，共同支付。显然我们都想喝香槟，但是自己单独的时候是不会买的。于是都想自己点，然后让对方为自己掏一部分钱。于是最后的均衡俩人都买。

显然最后的均衡就是两个都买，因为谁不买谁吃亏。应用到任意次数的有限次博弈也是一样的，反正最后一轮，肯定是大家都买，那么倒数第二轮，大家还是都买……于是从第一轮开始大家都买。

那么现实中大学同学，四年后大家很大概率都各奔东西，这也是有限博弈啊。这是四年前我们就知道的事情，为什么在大学生活中没有处处都是囚徒困境呢？

事实上在日常的博弈中，均衡往往并不止一个，比如说，如果两个人之一不高兴了选择冷战，一个宿舍的人，冷战起来感觉不好，所以只要有一个人冷战，两个人都获得很低的效用。

所以这就不再是一个四小方格的博弈，而是存在两个纳什均衡，双方都买和双方都冷战。那么这个时候反而有合作的希望了，我们就看一个最简单的，只有两期的重复博弈，假定折现率为1。

这个时候每个人的策略就是：我第一回合选择合作策略——不买，如果你选择买，我下一回合就和你冷战，如果你选择不买，那么第二回合是最后一回合，我无论如何都选择非合作策略——买。

如果我在第一回合偏离，我获得10，然后第二回合获得-50, 加起来就是-40。

如果我第一回合合作，获得0，第二回合选择买，获得-30, 加起来还是-30。

这个时候均衡状态就是第一回合大家都默契的不买，但是在毕业分手饭的时候狂点……

其实就是，只要游戏中存在不止一个纳什均衡，那么动态博弈中，一方就可以通过挪到更坏的均衡这个可信的威胁来达到前期的合作。我们生活中的常态基本上也是这样的，真正的囚徒困境是极少极少的，无论夫妻之间，同学之间，还是同事之间，往往都有着很大的策略集，和很多的潜在的纳什均衡。比如『不理对方，如果对方先开口找自己说话，就对对方冷嘲热讽一番』 如果俩人都采用这个策略，也是一个纳什均衡……

就算是囚徒困境的场景，每个囚徒要不要考虑到卖了对方之后，对方在狱中会指使对方家人对自己的报复呢？要不要考虑自己的朋友之间的压力呢？再说除了坦白和不坦白，是不是还有一些模棱两可的词汇呢？现实中的策略总是很多的，高度抽象简化之后就变成了两个策略和四个小方格的payoff，信息是丢失了的。于是在做经济学实验的时候，人类是用自己在复杂的环境下养成的习惯，去做高度抽象和理论化的囚徒困境和公共品提供等实验，然后得出来不那么符合理论预测的结果，不是很正常的么？这并不意味着理论的失效，也不代表理性人假设被推翻。

很多时候，理性人原则表面上失效了，只是因为我们还没有完全的理解我们的理性在何处。

总结起来，就是因为存在各种非常差的纳什均衡，我们才会在有限次的合作中也有动机保持合作，很少被真的囚徒困境所困扰。

我们可以先看一个有限次重复博弈存在合作的例子。

博弈中有两个玩家，1和2，每个玩家在每一次博弈中有三个行动选项，C（合作），D（欺骗），和P（惩罚），每一次博弈的收益矩阵如下：

首先我们分析一下这个博弈。在这个博弈中，如果没有策略P，那么它就是一个标准的囚徒困境，C是劣势策略，策略组（D,D）是唯一的纳什均衡。但是在有策略P的情况下，它有两个纯策略纳什均衡(D,D)和(P,P)，以及一个混合纳什均衡，为了简便起见，我们仅考虑纯策略。

现在我们假设玩家1和2重复以上的这个博弈次，。每个玩家在这个有限次重复博弈的最终收益为各次博弈收益的加总，即：，其中是玩家在第t次的选择，就是它第t次博弈的收益，为方便起见，暂时不考虑折现。我们注意到在这个有限次重复博弈中，至少存在两个子博弈精炼均衡（路径），两人一直玩（D,D)或者一直玩（P，P）。

考虑一个最简单的情形，重复博弈两次，即。玩家1和2同时采用如下策略：

1. 第一轮，选择C（合作）；
2. 第二轮，选择D（欺骗）；但是如果第一轮中有人没有选择C（合作），那么第二轮选择P（惩罚）。

通过逆向归纳，我们可以验证这个策略组合是一个子博弈精炼均衡。在第二轮，不管是同时选择D还是P都是纳什均衡，因此是合理的。第一轮，如果选择合作，第二轮会以(D,D)结束，那么玩家i的总收益是4+2=6，而如果玩家i在第一轮选择D（欺骗），第二轮会以(P,P)结束，它的总收益就只有5。所以虽然合作是劣势策略，但是却出现在了均衡路劲中。一般的的有限次博弈中，类似的策略组合，即一开始合作，最后一轮选择（D,D），如果最后一轮之前一旦出现不合作的情况，之后一直（P，P）直到游戏结束，是一个存在合作的子博弈精炼均衡。

更一般的情况下，有限次重复博弈如果存在多个子博弈精炼均衡，我们可以用最差的子博弈均衡路径作为不合作的惩罚，以此来支持合作出现在均衡路径中。

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有时间的话，可能会补充一点更一般的分析。

参考资料：

教授的notes

Jean-Pierre Benoit and Vijay Krishna : "Finitely Repeated Games," Econometnca, 53, 905-922,1985