PROBLEM:prove that:
exist Infinitely many irrational number is a rational number
存在无穷多个无理数a,b使得 是有理数。
事实上,在平面直角坐标系上(a,b)稠密。
想到了吗,提示一下,是很初等的
广告位招租招商。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
提示:想想初二学的基本运算定理再构造
证明:取
取 为有理数,但 是无理数,同理,取 为有理数,但 是无理数
则 是有理数
若, 是有理数,取 bingo!
若, 是无理数,取 ,也bingo!
由于x,y的取值,故(a,b)在平面坐标系是稠密的。
推广:试问,这样一个相同的构造,原来的结论还正确还正确吗?
说一个意料之外但情理之中的构造,构造Bernoulli随机变量证明Weierstrass一致逼近定理:闭区间上的连续函数可用多项式一致逼近。
这里只证[0,1]闭区间,记为 ,设 是 上的连续函数,令:
,也就是Bernstein多项式,下证 一致逼近 :
, 考虑独立的Bernoulli随机变量序列 满足:
由于任意分布都有无穷个独立的复制,所以这样的随机变量存在。令 , 则 是多项分布,满足
所以 其实是一个期望,即 , 因而有如下估计:
由于 f一致连续,所以 任意小时,第三行那一项也可以任意小。再由Chebyshev不等式:
最后注意到 , 则n足够大时,第二项也可以任意小。这样就证明了B_n一致逼近f。