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数学中有哪些让你感到赏心悦目或是震惊的构造手法? 第1页

  

user avatar   meng-meng-jing-bing 网友的相关建议: 
      

PROBLEM:prove that:

exist Infinitely many irrational number is a rational number

存在无穷多个无理数a,b使得 是有理数。


事实上,在平面直角坐标系上(a,b)稠密。


想到了吗,提示一下,是很初等的


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提示:想想初二学的基本运算定理再构造


证明:取

取 为有理数,但 是无理数,同理,取 为有理数,但 是无理数

则 是有理数

若, 是有理数,取 bingo!

若, 是无理数,取 ,也bingo!

由于x,y的取值,故(a,b)在平面坐标系是稠密的。


推广:试问,这样一个相同的构造,原来的结论还正确还正确吗?


user avatar   yuan-shuai-47-37 网友的相关建议: 
      

说一个意料之外但情理之中的构造,构造Bernoulli随机变量证明Weierstrass一致逼近定理:闭区间上的连续函数可用多项式一致逼近

这里只证[0,1]闭区间,记为 ,设 是 上的连续函数,令:

,也就是Bernstein多项式,下证 一致逼近 :

, 考虑独立的Bernoulli随机变量序列 满足:

由于任意分布都有无穷个独立的复制,所以这样的随机变量存在。令 , 则 是多项分布,满足

所以 其实是一个期望,即 , 因而有如下估计:

由于 f一致连续,所以 任意小时,第三行那一项也可以任意小。再由Chebyshev不等式:


最后注意到 , 则n足够大时,第二项也可以任意小。这样就证明了B_n一致逼近f。




  

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