为什么短的木棍比长的木棍更不容易折断？ 第1页

这是材料力学的典型案例。一个杆件会断开，实际上是因为它的荷载超过了材料本身所能承担的极限。举一个最简单的例子：一根忽略了自身重力的筷子，用手在两端试图掰断。

受力差不多可以近似成这种情况:

此时的最大弯矩M=Fa，a是F和着力点之间的距离。弯矩M如果超过了杆子承载能力的上限杆子就会断。从这个结果可以看出，实际上AB之间的距离并不影响杆子会不会被掰断，有影响的是a。

回到生活中折断物品这个问题，越长的东西，人在试图掰断它的时候越容易扩大上面计算过程中的a（扳着顺手，太短的筷子不好扳），产生更高的弯矩以掰断材料。这就是为什么同一种东西越长越容易掰断。

参考资料：

[1]苟文选. 材料力学.第2版[M]. 科学出版社, 2010.

难得碰到一个这么贴合我专业的问题。

@中科院物理所 的回答引用了正确的理论，但我认为并未完全贴合实际，所以不够全面。相比之下我更同意 @Huxley 的观点：更长的木棍更易受外力屈曲，进而被折断。

我们考虑一个理想情况：一个人双手握住木棒两端，试图用力折断木棒：

由于手臂与肩膀的结构，当一个人试图折断木棍时，一方面会将木棍撅成图示下凹函数的形状，这会给木棍施加一对力矩；另一方面会试图以肩膀为圆心向下旋转夹紧双臂，对木棍施加一对压缩的轴力。而木棍的折断则是这两个因素共同作用的结果。

我们考虑不同长度的木棍在这两个作用下的受力情况：

无论长短（只要是人能用这个姿势握住的长度），人手会对木棍的两端分别施加一对剪力 (Shear force)，如图中的黄色箭头对。其中大拇指位置向上，小拇指侧手掌边缘向下。这便是 @中科院物理所 回答中的左右两对剪力。而由于人手的尺寸不会发生改变，因此这样的一对剪力之间的距离就大约是手的宽度，不会随木棍长度发生变化——剪力产生力矩的大小仅由剪力大小影响。

这对剪力会对木棍两端施加一组力矩 (Moment)，即图中的红色箭头对（它与黄色箭头是同一种作用的不同抽象方式）。这组力矩会使木棍位于两手之间的部分全部均匀地受到与此力矩相同大小的力矩的作用，详见如何绘制弯矩图 (Bending moment diagram)。这个均匀的力矩作用会使木棍产生弯曲，为后来发生屈曲 (Buckling) 时的失稳埋下了伏笔。

除去以上的剪力、力矩外，人手对木棍施加的第二组作用为一对压缩的轴力 (Axial force)，即图中的蓝色箭头对。这个轴力是木棍会发生屈曲的根本原因。

我们不妨把木棍简化为一段梁。木棍外形细长，且在发生屈曲前变形较小，因此可以使用小变形假设的梁理论来描述。在小变形梁中，轴力与力矩相互解耦 (Uncoupled)，因此可以单独讨论。参考 @Huxley 的推导或者这个网页，我们可以得出梁的临界负载为：

其中 为不考虑屈服 (Yield) 情况下的临界负载， 是梁的拉伸模量 (Tensile modulus) 或杨氏模量 (Young's modulus)， 为其截面二次轴矩 (Second moment of area)。 乘在一起叫做弯曲刚度 (Bending stiffness)，是结构力学中非常重要的参数之一。而 是梁的等效长度 (Effective length)，与边界条件 (Boundary condition) 有关。，其中 是梁的长度，也就是人双手之间的距离， 是等效长度系数，具体如下图：

对于木棍这种在两端（两只手）均可自由旋转但不可移动（平动）的支撑条件， 恰好为 1.

上面式子的含义是：当梁受到的轴向压力小于这个值时，即使受到一些侧向的作用（力或力矩），它也能维持稳定（稳定平衡）；若其所受轴力大于等于这个值，它便仅在理想情况下才能保持一条直线，而任何外界的微小扰动都会快速使其发生屈曲而失效（不稳定平衡）。

在试图折断一根木棍的过程中，轴力的增大使得木棍一步步走向屈曲的临界点；而力矩使其弯曲，进一步降低了木棍发生屈曲的难度。继续观察上式不难看出，在梁的材料、截面和边界条件相同的情况下，其屈曲临界压力反比于长度的平方——木棍越长，只需越小的力便可使其发生屈曲。

当屈曲发生后，梁便会产生较大的挠度 (Deflection)，进而我们的小变形梁理论失效。不过我们依旧可以使用基础弹性理论 (Linear elasticity) 对梁的任意横截面进行受力分析。参考这个网页有：

其中 是观察点处的力矩， 是此处的曲率半径 (Radius of curvature)， (kappa) 是曲率 (Curvature)，有 .（注：在小变形理论中，我们一般近似地认为 ，其中 是梁的挠度，右上两撇为对距离求二阶导数。）

因此，从上式我们不难看出，对于一根受到外力而发生了屈曲的梁，梁上某点曲率越大，则其所承受的力矩越大。而曲率最大的点通常是梁的中点，或者是结构上较细、较脆弱的点。屈曲导致的弯曲会使曲率最大的点所承受的力矩变大到原来的很多倍，进而导致木棍折断。这就是“巧劲儿”或者“寸劲儿”。这个观点 @Jackie Lee 在他的回答中也提到了。

对于较短的木棍，一方面需要很大的力才能使其发生屈曲，另一方面由于握持难度变大，难以发力，我们便无法用上屈曲的“巧劲儿”，而只能依靠增大力矩将其“硬生生”掰断。因此在只有力矩，没有屈曲的情况下，木棍很难被折断，不信你可以试试——同样一根木棍，在只能撅而不能挤的情况下，往往需要更大的力才能将其折断（那种又干又脆的树枝除外）。

同理，如果我们希望造出更不易折断的梁（木棍），那么有以下几种方法：

• 更换强度更大的材料，比如木材换成塑料、混凝土甚至金属（不考虑其他属性的情况下）；
• 在面积不变的情况下（材料总量不变）选择更不易屈曲的横截面形状，比如工字梁或者空心梁；
• 改善边界条件，将至少一端固定为不可平移或旋转。

在结构设计中，还有一个参数叫做细长比或者长细比 (Slenderness ratio)，即

其中 为回转半径 (Radius of gyration)， 为横截面面积。细长比可以近似地理解为梁（或柱）的长度除以宽度。工程师会根据细长比将结构分为短、中和长三类。一般认为细长比小于 50 的钢柱或小于 10 的木柱、混凝土柱为短柱；大于 200-250 的钢柱或大于 10 的混凝土柱为长柱（或细长柱）。后者在设计施工中要尽可能避免，以防止意外屈曲而引发的事故。