在极限和导数证明中引入无穷小α的意义是什么？ 第1页

我们上高数的时候，老师戏称说，引入无穷小量，是为了防杠精的……

emmm，直到学习了相关的数学史（在这里要感谢顾沛教授上的《数学文化》课程）之后，大概（很浅薄地）明白了一下它的意义，我把它阐述如下，简单举个例子吧：

在牛顿的时代，“极限”的语言是含糊不清的，比如说，我们要求 在 处的导数，那么在牛顿那个时代，让牛顿来做的话，差不多如下：

。

其中的，牛顿把它叫做“无穷小量”。这一方法在当时相当好用，牛顿使用这种方法（现在看来，就是微积分了）解决了大量的过去无法解决的问题，因此被科学界广泛接受，并得以迅速发展。

但是，细心的朋友很容易看出来上述求导过程中的问题。此后不久，当时英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论，他的责难相当直接：你这个求导过程中的啊，到底是啥呢？你说它是“无穷小量”，那么它究竟是不是 呢？

贝克莱说，如果“无穷小量”是 ，那么上式左端分子分母都变成了“无穷小量”之后，分母为，就没有意义了；反之，如果不是 ，那上式右端怎么就直接把略去了，得到 这种荒谬的算式呢？

贝克莱又说，在得出上式时，是假定了 才能作除法，所以上式的成立是以为前提的。那么，为什么又可以让而求出 在 处的导数呢？因此，牛顿的这套方法，就如同从 ，两边同时除以 ，然后得到 一样。

贝克莱还讽刺挖苦说:既然分子和分母都变成“无穷小”了， 而无穷小 作为一个量，既不是 ，又不是非 ，那它一定是 “量的鬼魂”了!

这就是著名的“贝克莱悖论”。

贝克莱并不是数学家，但是，他的质问是一针见血的。虽然牛顿及拥护牛顿的人们奋起与贝克莱论战，但是数学家在将近200年的时间里，都不能彻底反驳贝克莱的责难。直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克莱的责难；再直至后来的魏尔斯特拉斯创立“ ”语言，才彻底地反驳了贝克莱的责难。

评论一番：贝克莱的责难是有一定的逻辑基础的。也正是这一问引发了第二次数学危机，使得数学在历史上产生了新的飞跃！

所以题主应该知道了，引入极限和无穷小的意义是多么巨大吧！要不然，只能是立足于现行的人教版高中教材对待极限的办法，用“无限趋近”来含糊其辞：缺乏这种严谨数学语言表述的方法，也只能是表面文章，一如上述 的求法。

经评论区提醒，略微解释一下吧：我们大一新生上高数课，第一次接触到极限的 语言，不免觉得陌生，很多同学觉得直观上感受到这个“逼近”就够了，不需要繁琐地证明，比如 这种显然的极限还需要证明，这在有些人看来很不必要。我们高数老师应该是出于我们的这种心理，如此解释一下，算是开个玩笑吧。

不过，高数老师这里所说的无穷小量，完全不是牛顿时代表述不明的“无穷小”，而是现行高数课本里面的，基本上类似于ε-δ语言。