这个第二型曲面积分用书上的方法怎么做不出正确结果，第二型曲面积分转化成重积分怎么理解？ 第1页
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第二型曲面积分转化为二重积分的理解
积分要想理解得好，就得好好研究积分的微元，如图1所示：
从曲面 上截取一微元曲面，可视为平面。这一微元的第二型曲面积分的定义就是
其中 是该曲面微元在 平面上的投影，是个三角形，其余类似，称为投影微元。
现在我们要把它化为二重积分，也就是把投影微元 和 用 来表示。
如图2所示，因为两个三角形同底边，面积之比等于高之比，故有 ，而在曲面 上沿x轴前进时z轴下降，也就是说z对x的偏导数为负，故
同理有 .
因此 ，即
这就是第二型曲面积分转换为二重积分的直观原理。
本题的计算
本题用对称性是最方便的。如果一定要用上述定理硬解，确实可行，但计算比较麻烦。
化为二重积分硬解
显然在平面 上总有个坐标恒为0，故面积分为0，只需要考虑 平面上的面积分。积分曲面为 .
其中 表示 和坐标轴围成的三角形区域。
然后就是简单的二重积分计算，化为累次积分即可
能算，但很麻烦。这个过程我直接拿软件算了，如图3所示：
对称性巧解
被积函数和积分区域都具有x, y, z的轮换对称性，故
故
见题图中的解法。
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