为什么被积函数大于零，积分结果就大于零？ 第1页

对于性质定理

若 上的可积函数 则

证明是极其容易的，这只需要对明显的不等式 取 的极限就够了。但是对于如下的加强结论

若 上的可积函数 则

证明就将变得比较困难。务必注意，对严格不等式取极限后通常并不能再保证严格不等，因此，即使我们可以仿前写出 取极限后也至多能得到 这无法排除等式成立的可能性，与待证结论仍有距离。可以预计，这个加强结论的证明，需要花费一点力气。

十分清楚，这证明工作就是要排除这等式，于是我们考虑利用反证法。设若 则当 时， 上和收敛于零。于是，对任意给定的 在 上恒能求得子区间 使得 对所有的 成立。

同时，可以断言 这是因为，对于下述三个非负积分之和当且仅当它们同时为零。

既然如此，完全类似地，对任意给定的 在 中又可求得子区间 使得 于其上小于 且积分为零，反复不断地作这样的推证，就可得到一列闭区间套 使得 对一切 成立。这里，我们总可以保证 的长度以及 均收敛于零，于是依闭区间套定理，必可求得属于一切 的唯一公共点 满足 但这是不可能的，因为将这式子取 的极限后，将得到 矛盾。于是推翻反设，加强结论得证。