为什么部分大一学生认为线性代数听不懂？ 第2页

不是认为听不懂，而是真的听不懂。

这里澄清一个误区，高中毕业生一般认为数学系的数学更难，工科数学相对简单，从数学的严格性证明方面来讲这么看是正确的，但从学习的角度来讲不是这样的。工科数学是在应用中发展的，所以对于那些将数学应用于工程、经济、金融甚至人文社科实践的人来说，工科数学是较纯数简单，因为这些人本身就参与了应用数学的发展，但对于萌新学生而言，工科数学是十分不友好十分缺乏内在逻辑关系梳理的，而大部分理工科院校工科数学课都是数院开的，这就十分操dan了，因为纯数的数学逻辑体系是大一一开始就建立的，所以纯数出身的老师不理解或者不在意的是，真正使他具有数学思维，建立数学直觉，构建数学大厦基础的那些东西，那些已经融入他思维深处的东西，工科数学教材是tm没有的，所以工科数学教学尴尬在两方面: 一是没有紧密和本专业实践结合，这很容易理解，工科数学不是本专业工科老师教的，而是数院开的面向某同一大类非数专业，根本做不到理论和实践相结合；二是教材删去了理论基础、各部分联系和部分关键证明，在学生眼里，数学不再是一门严密的，从逻辑起点推理的专业，而是各种神凑天凑，各种显然易证。

在这里给非数专业学生一个建议，高数用实分析打底，线代用抽代打底，不用看严格的证明，但要建立起一定的数学思维，能够把高数线代概率串联起来，放在一个框架下去理解。

ps：对于已经建立了工科数学框架的学生来讲，书上每个知识点都能串联到一起，攻克一个一个知识点是一种乐趣，就像在一张构思好的图画上添t加细节，反之，对那些不知其所以然，不知其应用的学生来说，每个知识点都是一个新的门槛，甚至极端些对于某些同学，卡在某个点，四年就再没迈过步，再领略数学之美，那是硕博乃至工作多年以后了。

ps：听说现在一些院校开始讲工科数学分析了，可喜可贺。不过线代依然是行列式起手的多，再好一点的是方程组开局，只是从解析几何—向量空间—线性变换开始讲的据说还是没有，有些院校依然操dan的把线性变换打星号？

ps：评论里有质疑我说高数用实分析打底，线代用抽代打底的同学，还有指出线代进阶是高代的同学，即使我从来没说过线代进阶是抽代，这些我都虚心接受，应该是我没有说明白，在此澄清一下，打底这个词用的不准确，让人以为要先学会了分析和抽代才去学高数和线代，而我的本意是，分析和抽代证明要求高的多，但其逻辑成体系且十分清晰，前面几章也都详细讲了有关集合、映射、部分数理逻辑、证明方法等内容，这些都是高中以为到了大学会教，工科大学老师以为高中教过的内容，我的建议是不要看严格证明，而是弄懂各个概念和概念之间的联系，弄清楚从一纬到高维数学对象的建立和描述及分析方法，包括不限于分解组合与变换，其实线性代数基本逻辑弄清楚了，真的很简单。

线性代数都忘光了，如果拿起书再翻一下的话的要两个礼拜才能学回来。

不过目前有几个东西一直记得大概的过程，不过不知道属于线代的哪个部分了。

第一、逆矩阵的求解

我是强迫自己从头到尾运用LU分解求逆矩阵。并判断该矩阵有没有逆矩阵。当然这个不是广义逆。

手动写完求逆的原理后（用matlab的函数不算数的）。带现在三阶的矩阵求逆矩阵貌似都能手算算出来。而且会情不自禁的用LU法套公式去算。

第二、特征值，特征向量的求解

这个真的非常有用。

比如在知乎讲得飞起的主成份分析法——PCA方法。特征值与特征向量是一个基础性的内容。

很多人讲PCA讲得非常好，不过只是用用软件而已。并没有涉及特征值与特征向量的求解。

当重头到尾编写了这个软件（C++,js,php各种版本都写过一遍），然后协方差，特征值与特征向量基本都会用了（但是还是不会算）。

求特征值与特征向量是针对对称矩阵的求解过程。好像有几种方法。

我只会用 jacobi 矩阵的算法。

比如上述对称矩阵，求特征值。

特征向量就容易一点。

第三、学了线代后面学离散数学跟拓扑会容易一点

线代对应的矩阵是普通的矩阵。

到了离散数学里对应的是布尔矩阵，或者模糊矩阵了。

而布尔矩阵有可以跟图论对应起来，图论又可以跟点集拓扑对应起来。

如果没有简单的线代的知识，到后面的是难以进一步的研究。

最后：

大一还早，我国的数学书，一般就是苏式风格。

定理 证明 例题 练习 定理 证明 例题 练习这样不断的循环。

跟具体运用结合不多。

比如如果逼自己完成一个具体的分析，比如主成份分析。代码也得自己从头写（不用matlab等的函数）相信过了一遍后会印象很深的。

当然自己完成了工具，真要做题未必行。比如手动求一个四阶对称矩阵的，特征值与特征向量，都搞不定的。

到现在有次我手算一个二元一次方程组都不会算了。

---

  xue-ba-gou-123 网友的相关建议: 
      

谢邀，本人某985院士课题组研究生，大一贪玩线性代数就没去上过课，挂科后重修94分通过，现在所从事的课题与线性代数有很大的关系，也算有点发言权！

首先我想说明一点，线性代数本来就很抽象，国内的教材（如万恶的同济版紫皮书）把抽象的数学问题讲解的更为复杂，所以大一的小朋友们听不懂完全正常。但如果找准方法，你会发现线性代数入门很简单，而且学好线性代数对以后科研和工作的帮助也是超大的！

本文从（1）线性代数高分攻略——帮助大一的学弟学妹快速高分通过期末考试

（2）线性代数的本质分析——帮助同学们一个小时彻底入门抽象的线性代数

仔细看完，相信同学们一定会有所收获。满满干货，绝对原创，求赞求宝宝(づ￣ 3￣)づ！

一、线性代数高分攻略

国产教材把线性代数写的超级抽象，大一的同学缺乏基础，为了应试使劲儿啃课本就未免得不偿失了。就算把抽象的文字吃力的啃下来，对考试的帮助也很有限。我给你的建议是分三部走，大约需要一周时间，完全可以做到从入门到高分！～

step.1 快速建立一个大纲体系（第1天）

以最快的速度把书本翻一遍，主要看标题，还有目录，只需要对线性代数的一些概念留下基本的印象。不需要看懂，只需要留下基本印象！不需要看懂，只需要留下基本印象！不需要看懂，只需要留下基本印象！重要事情说三遍。

tips:千万不要深陷课本抽象的定义、定理的数学语言中，这一过程一定要快，只要求有印象即可！否则你会很快迷失自我，进度止步不前，甚至直接放弃。这是线性代数学习最大的坑了！

step.2 找一个线性代数基础视频跟学（第2—4天）

这是最高效的方法了，跟着一个靠谱的针对线性代数基础的视频学一遍，想不过都难。这比独自痛苦的抠书本快太多。吐血推荐下bilibili的“小宝数学”。本人无意中看到B站上的小宝数学。三个小时彻底搞定。挂科重修线代顺利94分高分通过。小宝老师没有一句废话，全是干货，而且思路很清晰，能够快速搭建知识体系。除了高数，线数和概率论也有讲解。跟视频学效率最高！跟视频学效率最高！跟视频学效率最高！重要事情说三遍。

小宝还自己做了一款app，学习起来特别方便，我把它放在了网盘里给大家：

tips:在看他的视频的时候，要学会按暂停，不要被老师带着节奏走，而是要自己去控制节奏。具体的就是，a.听老师讲完定理概念以后，按个暂停回顾下知识点，给自己一个消化的时间;b.老师讲例题前按个暂停，根据刚刚学过的定理概念自己先做一遍，这点我想大家高考复习过肯定都知道，直接听老师讲题和自己做一遍效果是有天壤之别的;c.听老师讲完例题后再按个暂停，幻想自己就是老师，你面对一个小白，然后教他怎么做题，这是国际上公认学习效率最高的“费曼学习法”，效率比直接抄笔记要好八倍以上！

step.3 疯狂刷题（第5-7天）

这一步是最为关键的，不做题一切都是徒劳，刷题者无敌！最好找到本校近三年的试题，反反复复做几遍。如果找不到，就在网上下载几套其他高校的期末试题。刷题真的很重要！刷题真的很重要！刷题真的很重要！重要事情说三遍。

还有，考前最后半天，最好抽出几个小时再刷一遍视频，这比看一遍书效果强太多。

tips:自己学校的真题一般在学校打印店都可以找到；其他学校的视频在百度文库里找，但要注意一定要选那种有答案的真题，否则检验无反馈，效果大打折扣。

做到以上三点，想不得高分都挺困难的。

上述方法适用且不限于期末数学的复习方法，而且对考研等大型考试亦有效，本人考研采取了这套方法，数一考了143。

二、线性代数的本质分析

同学们学完线性代数是不是感觉很蒙，不知道到底在讲什么，有什么用，学完一遍很快就忘光了。别着急，别怀疑自己，学长本科的时候也一样，也一样蒙圈，这是由线性代数的特点决定的！线性代数最大的特点就是抽象，但从本质上来讲其实线性代数一点都不抽象，它的应用范围实在太广泛了，只要是理工科的科研，往深处走会发现处处都是线性代数。很多看起来跟线性代数扯不上关系的领域，但本质上就是一个线性代数的问题，比如结构力学，人脸识别等。鉴于很多同学们才大一，这里就不展开讲了，总之记住一点，你对线性代数的理解程度，决定你在学术上走的高度

请同学们耐住性子，听老学长叨叨线性代数的故事。

tips：这很重要！！这个故事专治线性代数恐惧症。老学长可以保证学弟学妹们看完故事后，能对线性代数不再那么蒙圈，不经过这一步刷再多的题也没很大的效果。

咳咳，请准备好瓜子和板凳，学长要开始了：

老子说，道生一，一生二，二生三，三生万物。

每一门学科，都有它的出发点，就像每一个复杂的生命体，都是从一个简单的胚胎发育而来。线性代数的一切故事，从一个等式说起：

y = Ax（其中x和y为列向量，A为矩阵）

惊不惊喜，意不意外，线性代数的一切奥秘，都蕴藏在这个简单的等式中。

那么，这个等式表示什么意义呢？

大多数国内的教材是从方程的视角来解读的（如万恶的同济版紫皮书），但国外的教材则倾向于从线性变换的视角来解读。

这两种视角就像一个硬币的两面，我分别解读一下。

1. 线性变换视角：

同学们一定记得高中数学的核心，就一个等式：y = f(x)，表示将一个数x，通过函数f，变到另一个数y，这就是最原始的变换思想。

最简单的函数f，是一次函数，或者叫做线性函数：

y = kx

这个函数简单到小学生都能懂，不外乎就是把一个数x，通过某种线性变换的作用，使之变成另一个数y。该线性变换唯一决定于系数k，只要k确定了，线性变换就确定了，如果画在图上，k表示直线的斜率。

你说太简单了？别急！把这个小学生都能懂的函数稍加推广，就会变成连大学生都不一定能整明白的怪物。

y = kx之所以简单，是因为参与变换的自变量和因变量都是标量。如果，把标量推广为向量，就是今天的主角 y = Ax，它将一个向量x，通过矩阵A的作用，变换到另一个向量y。由于向量可以理解为点的坐标，因此线性变换也可以理解为：将平面中的任意点x，通过矩阵A的作用，变换到与之对应的点y。

我们可以举一个形象的例子，比如你手上有一个弹性平面，你可以给这个平面施加某种作用力，它就能变成一个新的平面。那么，无论是均匀拉伸，还是均匀压缩，还是旋转任意角度，都是某种线性变换，都可以用一个矩阵A定量的刻画变换行为。

当然，线性变换不限于拉伸压缩旋转，还可以是其它的一些情况，比如镜像变换，以及材料力学中的剪切变形等等。

不过呢，并不是所有的变换都是线性变换，比如你局部压缩，局部旋转都不是线性变换。也就是说，线性变换一定要求整体性和均匀性。用一个更为科学的术语表达就是：变换前的两条平行直线，变换后也一定是平行的直线，不能变弯，也不能变得有非零夹角。

另外，连续施加两次线性变换，会得到一个新的线性变换，这就是矩阵乘法的由来。比如，y = Ax，z= By，则z = B(Ax) = BAx，其中C = BA表示由A和B复合而成的线性变换。

至于如何计算矩阵乘向量Ax，如何计算矩阵乘法AB，任何一本线性代数的教材中都有定义，这里就不展开叙述了。

2. 方程的视角

还是从标量的线性变换 y = kx谈起。如果y是已知的，系数k也是给定的，要求x，则是一个解方程的问题，方程的解为 x = k -1x

同样，向量的线性变换y = Ax，如果y已知，A给定，要求x，则是一个解线性方程组的问题。

线性方程组可能有无数解，可能有唯一解，也可能无解，可能齐次，可能非齐次。对这些不同的情况的研究，就衍生出线性方程组的各类定理，以及线性方程组的求解方法，这是线性代数期末的一大考点，具体细节就不展开论述。

只要理解了线性变换视角，和方程视角，线性代数就入门了。剩下的就是一些更为深入的专题，比如特征值与特征向量，二次型等等。以及研究线性代数的必备概念：行列式，秩，逆矩阵，伴随矩阵等等。这里就不一一展开叙述，仅略微讲一下特征值与特征向量。

回到线性变换y = Ax，如果A是方阵，则会衍生出一个概念特征值和特征向量。它表示对某些特定的x，经过矩阵A的作用后，不产生旋转效应，只产生拉伸，压缩，或反向，则这些特定的x，叫做特征向量，如果拉伸了两倍，则特征值为2，如果反向压缩2分之1，则特征值为负2分之1.

用公式表达：Ax = λx，则x表示不产生旋转效应的向量，λ表示伸缩比。

很多现实中的问题本质上都是特征值特征向量的问题。比如，力学中的模态，人脸识别中的特征脸等等。总之，特征值与特征向量在科学研究中有很深刻的应用。

以上就是线性代数提出的背景，以及主要的研究内容。要学好线性代数，除了了解这些概念以外，还需要理解每一个主要定理。理解每一个主要定理之后，还要掌握典型的必考题型，比如行列式的计算，解线性方程组，求特征值与特征向量，化二次型为标准型等等。

本文绝对原创，手动码字，求赞求抱抱哦 (づ￣ 3￣)づ

这个问题在《理解矩阵》一文中有很好的描述，实际上我认为中国大学数学教育在很多科目上都存在着“不说人话”的情况。截取开头部分，人类圣经，建议反复阅读（笑）。

“前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。很明显，chensh觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病，还是比较难的事情。

可怜的chensh，谁让你趟这个地雷阵？！色令智昏啊！

线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。

事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。

大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说：

* 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？

* 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？

* 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？

* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？

* 对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？

* 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？

* 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax =λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？

这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。就好像大人面对小孩子的刨根问底，最后总会迫不得已地说“就这样吧，到此为止”一样，面对这样的问题，很多老手们最后也只能用：“就是这么规定的，你接受并且记住就好”来搪塞。然而，这样的问题如果不能获得回答，线性代数对于我们来说就是一个粗暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合，我们会感到，自己并不是在学习一门学问，而是被不由分说地“抛到”一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。直到多年以后，我们已经发觉这门学问如此的有用，却仍然会非常迷惑：怎么这么凑巧？

我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。上述这些涉及到“如何能”、“怎么会”的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答，是不能令提问者满意的。比如，如果你通过一般的证明方法论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不能够让提问者的疑惑得到解决。他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧，还是说这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？如果是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑，我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。像我们的教科书那样，凡事用数学证明，最后培养出来的学生，只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的理解。

自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。然而数学公理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者。然而包括我本人在内的很多人都对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉，有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质。反之，如果一味注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则的奴隶。”

最后给出链接全文：https://wk.baidu.com/view/f96956b404a1b0717fd5ddca?pcf=2