微分流形与黎曼几何有什么关系？ 第1页

在微分流形上给出一个特殊的（0，2）型张量场，它满足内积的几条性质，称为黎曼度量。带有黎曼度量的流形称为黎曼流形，黎曼流形就是黎曼几何的主要研究对象。有了黎曼度量就能研究黎曼流形上两个切向量的夹角和一段曲线的长度。

任何一个流形上都能装备一个黎曼度量。在之前微分流形里学过一个光滑函数在一点沿着光滑向量场的“方向导数”，但是这在对向量场求导数时遇到了困难。把一个流形嵌入欧氏空间，如果向量场 沿 的方向导数 按照 的分量套用对函数的方向导数（在欧式空间的切空间中计算），可能会出现求导得到的向量不落在这个流形的切空间中。解决的方式是引进“联络”的概念，也就是对向量场求导的方法。但是一个黎曼流形上的联络有很多（它们不能构成一个线性空间，但是可以构成一个凸集）其中有一类特殊的联络叫做Levi-Civita联络（也叫Riemann联络），它是存在且唯一的。然后你可以定义向量场的平行移动，由此定义测地线，简单的说也就是两点间距离最短的曲线。

就题主的问题，其实前几行文字就说明完了，就简单说了一下黎曼几何中最最基本的几个概念，我也只是个初学者，不足之处见谅。就问题本身而言，您完全可以维基百科2分钟内解决，不必在知乎抛出问题苦苦等待2小时。想学一点数学就用好维基好好看书，少刷没营养的东西，不然会和我这个名词党一样，只知道基础概念，随便抛出一个简单问题都不会算或者不会分析。