处处不连续的函数乘以一个非 0 连续函数连续么？ 第1页
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谢邀。
研究处处，其实就是研究在每一个点上的情况。
证：设 f 在 x₀ 处不连续，g 在 x₀ 处连续，且
由 f 的非连续性可知，存在两个以 x₀ 为极限的序列，包含在 x₀ 的一个充分小邻域内，设
（允许 ε₀ = + ∞）
现在研究 f(x)g(x) 在 x₀ 处的连续性：利用三角不等式放缩易得，f(x)g(x) 在 x₀ 处存在两个极限不一样的序列，
当f(α_n)有界时
当f(α_n)无界时，上式也是严格大于0
故 f(x)g(x) 在 x₀ 处不连续。
Q.E.D
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