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数学界为何走向抽象? 第1页

  

user avatar   inversioner 网友的相关建议: 
      

要讨论这是数学界的进步还是堕落,你需要先定义什么是进步,什么是堕落。

但你不能。我们也不能。

所以shut up and study.


user avatar   ni-pan-rui 网友的相关建议: 
      

前些时候和老板聊天,正好谈到类似的问题。这里我想说一点和别的回答不同的观点,其实对数学中部分内容的抽象化我们是需要警惕的。正如布尔巴基学派的创始人之一迪厄多内在《无穷小计算》一书中所说,只重视抽象的和一般化的理论,而轻视具体计算,这种倾向会对学生有不好的引导,是需要纠正的。

实际上很多数学理论一开始是为了解决某个具体问题而引入的,其中或许有困难而采取了一些迂回方案,从而和原来的问题有些许区别。随着理论的发展,有些抽象理论和原本的问题越离越远,最终走不回去了,这很容易导致这个方向越走越窄,最后失去生命力。在研究多体问题稳定性的时候,庞加莱当初发现处理高阶项有困难,于是把这些项打包放在一起,抽象地记为 Hamiltonian 的高阶扰动,从而开始了近可积系统的研究。然而,扰动前的线性项经过了一次坐标变换,把实际的坐标变成了作用角变量坐标,这个时候柯尔莫格洛夫的非退化条件无法保持,因此近可积系统这个方向虽然发展出了一系列非常漂亮的结论,但是对于多体问题这个一开始的问题却始终无能为力。很长一段时间这些理论被认为只能解决人造的系统。对于多体问题稳定性的最终解决,则大概是近几年的事情了。这里的问题在于,近可积系统理论忽视了多体问题运动方程里面高阶项的具体形式,而这个具体形式在退化情形下依然可以保持稳定轨道的存在。另外则是为了解决 Arnold 猜测出现的一系列抽象的理论,然而 Arnold 本人并不太认可这些证明。




  

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