量子力学老师提出了一个问题：为什么 Schrödinger 方程里有虚数 i ？ 第1页

你就是想知道 从哪里来对吧？

因为假设中的波函数是复值平面波 。

时间偏导数： ，两边乘以 得 。

位置偏导数： ， 两边乘以 得 。

能量守恒，粒子总能量 。

至于为什么假设的波函数需要引入复数……量子力学引入复数其中一个很直接的原因是要解决自旋（以及其他双态系统）的描述: 李代数 ，例如泡利矩阵。我们没办法在2d实线性空间里建立起非平凡表示，而引入复数域则能很自然地解决这个问题。Generally, 概率守恒要求量子力学里的演化是幺正的：辛结构解决动力学问题，正交结构解决概率问题，连接两者的则是复数结构。这是数学结构上的要求。

个人认为有两个原因：

1、一阶微分算子不是自伴的而是反自伴的：

然后你加个i就自伴了，所以一旦方程中有一阶导数，就容易出现i，除非大家都有i一起消掉，比如我们看看狄拉克方程

这里有个质量m不带i，阻止了大家把i消去，然后大家都是一阶导数，就都带着i了。

2、虚时热传递方程可时间反演，而实时的不行

本质原因在于虚时热核 在时间反演下为 相当于做了一个共轭变换，函数性质没有变化，而实时热核 时间反演后 直接从一个速降函数变成一个速增函数，以至于大量本来可以做卷积的函数都没法做卷积了。

学过一点偏微分方程知识的应该知道，热传导方程的解就是热核和初始条件的卷积，这就造成，薛定谔方程这种虚时热传递方程，在时间反演下，对初始条件的要求是不变的，而相反，普通的热传递方程就不行了，大量正向可用的初始条件，反向不行了，这就尴尬了。

不过热力学本来就不支持时间反演的嘛。

当然代价就是，薛定谔方程对初始条件的要求还是要比热传递方程高点，毕竟在无穷远处也是个振荡发散的状态，比不得指数收敛这么好。