如何证明哈代不等式? 第1页
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定理1 (Hardy不等式) 设 则对于 若 则有
证明：首先要用到Young不等式：设 则根据Young不等式可知
令 则
对上式求和得
因此
化简并移项可得
令 即得欲证不等式. QED
当然我相信题主还会积分版本的Hardy不等式感兴趣：
定理2 [Hardy不等式-积分版本] 设 令 则
证明：前面的证明找的是裂项相消, 而这题考虑导数. 让 则与前面定理类似, 考虑
则
让 即可. QED
相信题主还会感兴趣，能不能把上面积分版本的Hardy不等式条件变弱呢？事实上，可以把 改为 此时不等式依然成立！
定理3 [Hardy不等式 - 积分版本(加强)]设则
证明：请参考：
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