能解释一下这些公式吗? 第1页

我来给一个可视化，比较好理解的解释。

首先，我们把积分区域翻一倍，变成整个实轴，由于函数全是偶函数，所以结果只是翻了一倍。但是我们就可以利用“一个函数在实轴上的积分是其傅里叶变换在0点处的值”。

然后，众所周知，卷积定理：乘积的傅里叶变换等于傅里叶变换的卷积。

下面，利用

和

我们可以看到，我们要求的就是一系列方波的卷积后，在0点处的取值。我们不妨设 对应的方波最宽，然后把其他的方波看作作用在其上的filter,可以看出，每作用一个宽度为 的方波，得到的波形中间的平台区域的宽度就会减少 。

如果 ，最后得到的波形中就依然会在0点周围一小段横线保持取 ，此时积分就一直保持是 。当 时 ，卷到最后，0点处取值也小于1/2，此时积分就不是为 了。

参考：

http://www. schmid-werren.ch/hanspe ter/publications/2014elemath.pdf

https:// johncarlosbaez.wordpress.com /2018/09/20/patterns-that-eventually-fail/

这是著名的「波尔文积分」，看似有很简单的规律，实际上公式比较复杂.

怎么说呢，这个问题给我的第一印象就像是“给万先生写请帖”带给我的感觉一样.

古时候，有一个人不识字，他不希望儿子也像他这样，他就请了个教书先生来教他儿子认字。
他儿子见老师写“一”就是一划，“二”就是二划，“三”就是三划，他就跑去跟他父亲说：“爸爸，我会写字了，请你叫老师走吧！”
这人听了很高兴，就给老师结算了工钱叫他走了。
第二天，这人想请一个姓万的人来家里吃饭，就让他儿子帮忙写一张请帖，他儿子从早上一直写到中午也没有写好，这人觉得奇怪，就去看看，只发现他儿子在纸上划了好多横线，就问他儿子什么意思？他儿子一边擦头上的汗一边埋怨道：“爸，这人姓什么不好，偏偏姓万，害得我从早上到现在才划了500划！！＂

【注】繁体字的“一二三”与简体字的“一二三”是一样的. 数字的大写简体汉字是“壹贰叁”，大写繁体汉字是“壹貳叁”.

（另外，笔者也很好奇罗马数字为什么也是在4的时候发生变化）

漫画取自 Is math beautiful? - Spiked Math .

言归正传，正因为波尔文积分的公式比较复杂，所以有不少人将其归为“丑陋的公式”当中.

波尔文积分的一般公式是

其中有以下几点注释：
① 元组 表示只能取正负一为元素的 元组；
② 符号数 ；
③ 波尔文表达式 ；
④ 符号函数 为符号函数.

好，我们来验证两个情形下的具体值.

验证一个“正常”的情形

当 ， 时，有 , , ，故

系数 ，以及

而 ，元组 有四种可能，记这些元组构成的集合为 ，则

(i) 当 时，符号数 ，

(ii) 当 时，符号数 ，

(iii) 当 时，符号数 ，


(iv) 当 时，符号数 ；

.

结合(i),(ii),(iii),(iv)有

因此

验证一个“异常”的情形

在不详细验证各项值的情况下，我们给出题主所问图片最后一行的值

结果有点吓人.

一般公式还有变形

当 且满足

时，变形公式可以简化，不用去求元组和. 简化的公式为

由于 且

从而，我们可以利用简化公式计算 的情形

两种公式得出的结果一致.

简述何时出现“异常”

对于部分“正常的情况”，即结果为 的情况，冰河dalao已经给出了证明.

冰河dalao给出的倒数第二个积分公式正是积分大典第437页的3.746.

实际上可以把 放宽，当 时，都有

而当 时，就会出现“异常”情况.

比方说 时， , , , , ；

，

所以出现了有点吓人的结果.

【这里只对条件进行简述，若想了解出现异常条件如何求得，请参阅波尔文的论文】

补充

题图最初很可能是从MSE的某帖子上拷出来后编辑而成的，这样怀疑是因为题图的每一个积分都漏了dx.

笔者顺便补充了一个完整的

类似的现象还有

以及

其实，这类看似存在某种简单规律，但是在超过某个临界值之后简单规律消失的例子有很多.

可以参考陆神的回答：

这类问题似乎有专门的称呼——「Examples of apparent patterns that eventually fail」.

似乎可以译为「有明显模式（规律）却最终不成立的例子」

（笔者不善翻译，感觉翻译结果很拗口）

【2022年1月更新】

感谢知友 @王赟 Maigo 的指正，才知道「Examples of apparent patterns that eventually fail」要翻译为「看似有规律却最终不成立的例子」。

参考资料

[1] Borwein D, Borwein J M. Some remarkable properties of sinc and related integrals [J]. The Ramanujan Journal, 2001, 5(1): 73-89.

Sinc及其相关积分的一些显著性质（波尔文父子2001年共同发表的论文）

链接： http://www.thebigquestions.com/borweinintegrals.pdf ;

[2] Baillie R, Borwein D, Borwein J M. Surprising sinc sums and integrals [J]. The American Mathematical Monthly, 2008, 115(10): 888-901.

令人惊讶的Sinc和与积分（波尔文父子与Baillie于2007年共同发表的论文）

链接： https://carma.newcastle.edu.au/resources/jon/sinc-sums.pdf ;

[3] Jonathan M. Borwein, David H. Bailey, and Roland Girgensohn. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery [M]. A K Peters Ltd, Natick, MA, 2003, 123-124.

[4] Examples of apparent patterns that eventually fail.

链接： https://math.stackexchange.com/questions/111440 .

先证明 Dirichlet 积分：

我们这里仅考虑 的情形：

下面进行推广，同样仅考虑 的情形：

上述蓝色部分后续考虑分部积分也可得出同样的结果。

当 时，

当 时，即上述积分正弦内均为正数时，

重复上述操作便能得到如下更具一般性的结论：

设 ，并且 ，则

,

亦即当 并且 时，有

.

如此该问题得以解决。