如何证明方程 x³＋y³＝2020 没有整数解？ 第1页

方法一:

假如方程有整数解.

1)显然,x,y同为奇数或者同为偶数,如果同为偶数,则 ,这不成立,故x,y同为奇数

2)有 . ,从而 都是正整数.因为x,y同为奇数,故 ,进而 1或5或101或505

3)因为x,y都是奇数且 ,故其中一个其中一个模4余1另一个模4余3,也即是模4余-1,进而 ,但1,5,101,505都模4余1,所以这不可能.

结论:假设不成立,上述方程无整数解.

2022.02.21 16:46 更新

有好几个人提到取模7和模9的办法,这两种做法对于关于整数的立方的问题确实更加有效,并且更加具有一般性.一并整理并更新如下.

方法二(模7法):

引理1. 对任意正整数n,有 .

证明. 若n能被7整除,显然 ,若n不能被7整除,由Fermat小定理,有 . 引理1得证.

对于原方程两边模7,有 ,但由引理1, 都模7余0或1或-1,易知这是不可能的,原方程无整数解.

方法三(模9法):

引理2. 对任意整数n,有 .

证明. 若n=3m,此时有 .若 ,有 ,有 .引理2得证.

对于原方程两边模9,有 ,但由引理2, 都模9余0或1或-1,易知这是不可能的,原方程无整数解.

一不做二不休,再来更新一种采用不等式估计的方法.

方法四(不等式估计):

因为

所以

因为所以

又 ,同时因为x+y是个偶数,所以x+y=4或者x+y=20.

若x+y=4,代入(1)式,有 ,继续求解一元二次方程可知x和y都不是整数

若x+y=20,代入(1)式,有 ,显然x和y都不是整数.原方程无整数解.