如何通俗地理解「韦达跳跃」，如何证明？ 第1页

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韦达跳越 (英语: Vieta jumping) 是一个处理数论的证明技巧. 通常是借助于韦达定理, 来对根进行无穷递降法, 是数学中证明方程无解的一种方法.

1 历史

韦达跳越是一种解决国际奥林匹克数学竞赛 (IMO) 数论问题的相对较新的方法. 第一个此类问题是在1988年第29届国际奥林匹克数学竞赛上提出的, 该问题被认为是当年最难的问题^[1].

澳大利亚解题委员会的六名委员中没有一人能够应对这一挑战. 其中两个是George Szekeres和他的妻子, 他们都是著名的解题者和命题人. 由于这是一个数论问题, 因此它被发送给了澳大利亚最著名的四位数论学家——他们都是该领域的专家. 他们没能在六个小时时限中解决此问题. 澳大利亚解题委员会将其提交给第29届IMO的陪审团, 并给它标记上两颗星. 这意味着任务非常艰巨; 甚至可能太复杂而无法提供给竞赛的参与者. 经过长时间的讨论, 陪审团才将其作为IMO的最后一道题. 十一名学生给出了完美的解答.
—— Arthur Engel

在这道题中获得最高分的十一名学生中, 有未来的菲尔兹奖得主吴宝珠 (16 岁). 另外两位未来的菲尔兹奖得主陶哲轩 (12 岁) 和 埃隆·林登施特劳斯 (17岁) 在第六题中仅获得一分.

2 标准型韦达跳跃

标准型韦达跳跃通常分三步进行: ^[2]

• 假设方程有解, 并设 为最小的解;
• 借助韦达定理从 推出一个更小的解 ;
• 从而与 的最小性相矛盾. 所以, 方程无解.

3 范例

1988 IMO #6. 和 是是正整数, 且 整除 . 求证 为完全平方数.

[解答] 令 . 用反证法, 假定 不是完全平方数. 并记 为所有满足 的正整数中使得 最小者, 不失一般性可假设 . 容易看出方程 其中一根为 . 利用韦达定理, 可知另一根 满足 和 .

从 的第一个表达式可得 为整数, 第二个表示式可得 , 这是因为 不是完全平方数.


进一步, 我们从 可得 为正数.

最后, 从 可推出 , 所以 , 与 为最小矛盾.

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参考

1. ^Arthur Engel. Problem Solving Strategies . — Springer[en], 1998. — С. 127. — ISBN 978-0-387-98219-9. https://books.google.ru/books?id=B3EYPeKViAwC&pg=PA127&redir_esc=y
2. ^Yimin Ge. The Method of Vieta Jumping // Mathematical Reflections. — 2007. — Т. 5 http://georgmohr.dk/tr/tr09taltvieta.pdf