为什么我会感觉用数学归纳法证明很low？而用其他证明方法就显得很高大上？ 第1页

天啊 居然有人觉得归纳法low？？？

归纳法明明是最高贵冷艳的方法好吗？

有没有玩过多米诺骨牌啊？

那种扣下第一个牌，后面环环相扣的快感。

简直是命运主宰好不好？

题主觉得数学归纳法简单可能是因为它已经套路化算法化了，不能满足题主的装逼心理。

实际上，

我也这么觉得。

初学微积分的时候

我觉得用黎曼和来算积分简直优雅哭了。

为什么要用牛顿莱布尼兹公式呢？

后来我明白了

所谓：重剑无锋，大巧不工。

能够套路化的，无脑的解决问题。才是最优雅的

归纳法是把问题简单化的好办法啊！low是因为它朴实无华，试图一力破万法，但是你不想用就要一个绝好的脑子啊。

想象一下组合数学没有了归纳法是一种怎样的状况吧。

虽然题主的措辞有点嗯哼，但是一般做题的时候用不用数学归纳法给人的感觉似乎不太一样：

• 用一种偏激的伪特根斯坦的立场来说就是：把握数学命题就是把握数学命题的证明（因此寻找不同的证明才是有意义的事情，因为我们把握的不是“同一个”命题）。数学归纳法的使用把这种把握给切散了，我们没有办法一下子把握整体而只能把握碎片。
• 用一种伪康德的辞藻来说就是：数学证明本应该是综合的，而归纳法的使用将其变成了分析的。
• 用一种发现定理的角度来说就是，数学归纳法只能告诉我们结论是正确的，却没有办法让我们预见这个结论。

大概是这种粗糙的直观。当然这个直观非常粗糙，毕竟数学归纳法某些时候能展现出某种构建性：我们如何一步步地，对于任意的 ，从 构建出 。

因为我见识短浅，所以只能谈谈不那么数学的归纳法。

数学归纳法是一种特定数学结构下不可或缺的产物，只有你在哪里用的问题，而没有你用不用的问题。至少对于某些看上去显然的结论，归纳法能让这个证明更加严谨一些。或者说，对于某些“这他妈也要证”的命题是如此。

比如说，你要用不归纳的错位相加法一揽子证明 的求和公式。首先，你要用数学归纳法证明任意有穷个数字相加是可交换的（应该结合性也要证）。有了这些你才能说 ，求和次序不影响结果。当然你也可以把这个写入公理系统中。（其实无穷级数的问题某种意义上来说可以看成是数学归纳法的极限，对于任意有穷多项能证明的结论，放到无穷上就不行）

重点在于，错位相加之类的操作某种意义上来说也是用数学归纳法证明的：你要怎么说明 能和 对应？对于对应好之后两两相加的和是 n+1 这一点，我只知道 里面第一个等号是为什么，以及第一个为什么和最后一个相等（用交换性），但是省略号怎么办？细拆下去，如果你觉得每个 是显然的，那么请考虑一下，首先你怎么保证 pairing 的时候总是把 这样形式的东西加在一起，而不会对齐错误？这就回到了一开说的问题：怎么保证 能和 以你想要的形式对应？我觉得数学归纳法的作用之一就是处理这些“这他妈也要证”的东西。毕竟因为面对不定的 n，枚举是不行的。剩下能用的工具真没多少。当然，在证明上述能配对成功的时候，我们证明的是对于 i 进行数学归纳法，而 n 作为一个一开始设定下来的，不受约束的变量，其实和归纳没关系，最后的结果算是一揽子证明了对于任意的 n 如何如何。所以排除一开始用归纳法证明结合律交换律之外，其实这里也只用了一次归纳法，和直接用归纳法证明应该是差不多的。

当然这是纯分析（哲学意义上的分析，或者，某些龟毛苏联分析教材？笑）层面上的东西。对于考试做题没什么帮助就是了。

回到开头的直觉中。对于某些自然数的结构，我们能一揽子把握，具体原因我不清楚，可能是因为某种几何类比的思维，比如，斜线式的增长，一正一反两个三角形的斜边斜率一样，因此对得上之类的，所以显然这里有一个一一对应。这种模式或许是自然数最显然的模式。因此当我们利用这种模式的时候，我们没有“负罪感”，也即，大多数人根本意识不到这个地方其实需要用数学归纳法证明。但是有没有可能从根本上不用归纳法？我觉得没可能，我们至多只能把归纳隐藏在“显然”中。我说“隐藏”并不是说不显然，的确很显然，但是如果没有归纳法你就解释不了，你依赖的直觉本质上就是归纳法最简单的形式。说到底，除了归纳法，我们还有多少把握有穷省略号的工具？

不过这都是猜测罢了：对于自然数递归的 pattern，我们有一种典范的把握方式，但是因为自然数通过递归能够创造的 pattern 太多了，我们还能以别的方式来把握一个自然数结构的东西。看不到熟悉的模式让我们感到不开心，所以说我们希望的不是不用归纳法，而是以一种典范的方式使用归纳法，也就是用“看上去最像我们认识的自然数”的视角去看自然数。至于这里的“典范”和“像”是什么意思我也不确定。至少在上面那个证明中算是一种典范的模式。

一般意义上所谓的“必须”使用数学归纳法，一种可能理解是，找不到一种以典范的自然数呈现对象结构的方式。但是是否真的不存在呢？我不知道。我觉得可能会比较难找，或者，因为要把对应的部分整理得最后不需要使用归纳法，以至于实际上我们把握不好这个东西了，但是要给一个只有用非平凡的归纳法才能证明的例子，我一下子也想不到。或者说，这里平凡性的认定过于模糊，会产生扯皮。盲猜用简单的 proposition as types 可以 formalise 这个问题，将其表述为是否存在某个 object 使得某个 diagram commute 形式的问题。比如说，如果用 表示归纳法 ind 作用在细小的证明 p 上，得到的一个关于 A 的的证明对象，也即，非平凡的使用情况，我们现在问的是，是否总是存在一个证明对象 使得 ——或许我 左右两边的东西写反了，或许 ind 不是结合一个证明，而应该作用在一个证明上，因此分别是 ind(p) 和 q ind(1) 之类的东西，但是大体上是这种感觉。当然这里的问题太多了，我一下子也想不清楚就是。