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为什么我会感觉用数学归纳法证明很low?而用其他证明方法就显得很高大上? 第1页

  

user avatar   asuka2001 网友的相关建议: 
      

天啊 居然有人觉得归纳法low???

归纳法明明是最高贵冷艳的方法好吗?

有没有玩过多米诺骨牌啊?

那种扣下第一个牌,后面环环相扣的快感。

简直是命运主宰好不好?

题主觉得数学归纳法简单可能是因为它已经套路化算法化了,不能满足题主的装逼心理。

实际上,

我也这么觉得。

初学微积分的时候

我觉得用黎曼和来算积分简直优雅哭了。

为什么要用牛顿莱布尼兹公式呢?

后来我明白了


所谓:重剑无锋,大巧不工。

能够套路化的,无脑的解决问题。才是最优雅的


user avatar   inversioner 网友的相关建议: 
      

归纳法是把问题简单化的好办法啊!low是因为它朴实无华,试图一力破万法,但是你不想用就要一个绝好的脑子啊。

想象一下组合数学没有了归纳法是一种怎样的状况吧。


user avatar   nuclearcarrot 网友的相关建议: 
      

虽然题主的措辞有点嗯哼,但是一般做题的时候用不用数学归纳法给人的感觉似乎不太一样:

  • 用一种偏激的伪特根斯坦的立场来说就是:把握数学命题就是把握数学命题的证明(因此寻找不同的证明才是有意义的事情,因为我们把握的不是“同一个”命题)。数学归纳法的使用把这种把握给切散了,我们没有办法一下子把握整体而只能把握碎片。
  • 用一种伪康德的辞藻来说就是:数学证明本应该是综合的,而归纳法的使用将其变成了分析的。
  • 用一种发现定理的角度来说就是,数学归纳法只能告诉我们结论是正确的,却没有办法让我们预见这个结论。

大概是这种粗糙的直观。当然这个直观非常粗糙,毕竟数学归纳法某些时候能展现出某种构建性:我们如何一步步地,对于任意的 ,从 构建出 。


因为我见识短浅,所以只能谈谈不那么数学的归纳法。

数学归纳法是一种特定数学结构下不可或缺的产物,只有你在哪里用的问题,而没有你用不用的问题。至少对于某些看上去显然的结论,归纳法能让这个证明更加严谨一些。或者说,对于某些“这他妈也要证”的命题是如此。

比如说,你要用不归纳的错位相加法一揽子证明 的求和公式。首先,你要用数学归纳法证明任意有穷个数字相加是可交换的(应该结合性也要证)。有了这些你才能说 ,求和次序不影响结果。当然你也可以把这个写入公理系统中。(其实无穷级数的问题某种意义上来说可以看成是数学归纳法的极限,对于任意有穷多项能证明的结论,放到无穷上就不行)

重点在于,错位相加之类的操作某种意义上来说也是用数学归纳法证明的:你要怎么说明 能和 对应?对于对应好之后两两相加的和是 n+1 这一点,我只知道 里面第一个等号是为什么,以及第一个为什么和最后一个相等(用交换性),但是省略号怎么办?细拆下去,如果你觉得每个 是显然的,那么请考虑一下,首先你怎么保证 pairing 的时候总是把 这样形式的东西加在一起,而不会对齐错误?这就回到了一开说的问题:怎么保证 能和 以你想要的形式对应?我觉得数学归纳法的作用之一就是处理这些“这他妈也要证”的东西。毕竟因为面对不定的 n,枚举是不行的。剩下能用的工具真没多少。当然,在证明上述能配对成功的时候,我们证明的是对于 i 进行数学归纳法,而 n 作为一个一开始设定下来的,不受约束的变量,其实和归纳没关系,最后的结果算是一揽子证明了对于任意的 n 如何如何。所以排除一开始用归纳法证明结合律交换律之外,其实这里也只用了一次归纳法,和直接用归纳法证明应该是差不多的。

当然这是纯分析(哲学意义上的分析,或者,某些龟毛苏联分析教材?笑)层面上的东西。对于考试做题没什么帮助就是了。


回到开头的直觉中。对于某些自然数的结构,我们能一揽子把握,具体原因我不清楚,可能是因为某种几何类比的思维,比如,斜线式的增长,一正一反两个三角形的斜边斜率一样,因此对得上之类的,所以显然这里有一个一一对应。这种模式或许是自然数最显然的模式。因此当我们利用这种模式的时候,我们没有“负罪感”,也即,大多数人根本意识不到这个地方其实需要用数学归纳法证明。但是有没有可能从根本上不用归纳法?我觉得没可能,我们至多只能把归纳隐藏在“显然”中。我说“隐藏”并不是说不显然,的确很显然,但是如果没有归纳法你就解释不了,你依赖的直觉本质上就是归纳法最简单的形式。说到底,除了归纳法,我们还有多少把握有穷省略号的工具?

不过这都是猜测罢了:对于自然数递归的 pattern,我们有一种典范的把握方式,但是因为自然数通过递归能够创造的 pattern 太多了,我们还能以别的方式来把握一个自然数结构的东西。看不到熟悉的模式让我们感到不开心,所以说我们希望的不是不用归纳法,而是以一种典范的方式使用归纳法,也就是用“看上去最像我们认识的自然数”的视角去看自然数。至于这里的“典范”和“像”是什么意思我也不确定。至少在上面那个证明中算是一种典范的模式。

一般意义上所谓的“必须”使用数学归纳法,一种可能理解是,找不到一种以典范的自然数呈现对象结构的方式。但是是否真的不存在呢?我不知道。我觉得可能会比较难找,或者,因为要把对应的部分整理得最后不需要使用归纳法,以至于实际上我们把握不好这个东西了,但是要给一个只有用非平凡的归纳法才能证明的例子,我一下子也想不到。或者说,这里平凡性的认定过于模糊,会产生扯皮。盲猜用简单的 proposition as types 可以 formalise 这个问题,将其表述为是否存在某个 object 使得某个 diagram commute 形式的问题。比如说,如果用 表示归纳法 ind 作用在细小的证明 p 上,得到的一个关于 A 的的证明对象,也即,非平凡的使用情况,我们现在问的是,是否总是存在一个证明对象 使得 ——或许我 左右两边的东西写反了,或许 ind 不是结合一个证明,而应该作用在一个证明上,因此分别是 ind(p) 和 q ind(1) 之类的东西,但是大体上是这种感觉。当然这里的问题太多了,我一下子也想不清楚就是。




  

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