范畴论中一个范畴里两个对象之间的态射的全体为什么要是一个集合？ 第1页

这是个很有意思的问题，上个月在准备2-category和2-functor的演讲资料时正好查看了这方面的资料。看到这个问题，就在这里总结一下吧。

首先，范畴论中一个范畴里两个对象之间的态射的全体不一定是一个集合，这就回答了题主的问题了。但这是远远不够的，我们接下来要探究一下一个范畴里的两个对象之间的态射的全体究竟事什么。

当一个范畴是locally small category时，其两个对象之间的态射的全体才是一个集合。当不是locally small category时，其两个对象之间的态射的全体不是一个集合，而是一个真类。对于locally small范畴，存在米田引理和米田嵌入，也就是说可以将locally small范畴中的对象嵌入到Set范畴中。

从另一个角度来说，集合（set）可以看成是0-category，存在一个幺半结构（monoidal structure）。只有一个元素的集合是这个幺半结构的单位元，集合的笛卡尔积就是这个幺半结构的张量积，这个张量积运算满足左右单位元定律和结合律。

一个普通的locally small范畴，因其两个对象之间的态射的全体是一个集合，所以可以看成是集合（set）上的丰化范畴（enriched category over set）。当把locally small范畴限定为small范畴时，存在small范畴上的丰化范畴，这些范畴称为2-category。当这个2-category也是一个small范畴时，这个2-category上也存在丰化范畴，这些范畴称为3-category。

多次应用丰化范畴的构造，我们就得到了如下很有意思的序列：

n-category --> (n-1)-category --> ... --> 2-category --> 1-category --> 0-category

上面这些范畴都是small 范畴，其中-->是enriched category over的丰化范畴的构造。

以上。

其实不一定的，你说的这个叫做locally small category

很多时候我们需要locally small的条件，这样会使得一些诸如 （态射怎么映过去的就不写了）这样的函子是良定义的。

【附注：这里的small与large主要是从集合论的角度下区分的，毕竟并不是一堆东西放在一起就会构成集合，也有可能是真类(proper class)。区分的意义在于避免诸如罗素悖论这样的事情。比如我们不能将所有的范畴组成一个范畴，只能将所有的小范畴(small category)组成一个范畴 。这个新的范畴 就不再是small的了，尽管仍然是locally small的。我感觉除了搞逻辑的，一般人也不会太在意这个，很多时候就直接用locally small category了。】