像这种积分运算有什么规律吗？ 第1页

我从直观的一种角度来回答吧。。

一般来说，有理函数都是可以写出初等形式的积分的（虽然会很复杂，但是可以写的出）。一般 上的有理式一般是可以分解成 乘积是有限项）。

然后，就可以拆分成形如 形式的线性组合。（因为它们都有原函数，从而，依照积分的线性组合可以得出结论）

当积分中都是有理式的时候，那是很好的。但是如果出现了根号了，那就不是很好处理了。

譬如说第一张图的题，被积函数是 积分区域是 的区间。

考虑对其进行“有理化”的操作，即 那么，被积函数相当于平面上的一条曲线做积分（原先是在实数轴上）

目前我们有很好的几何模型了，下一步就是，能否找到一条直线到 曲线的有理映射。

因为是二次曲线，所以是可以的。因为对于任意一条二次曲线 随意取该曲线上一点 ，然后过该店做二次曲线的切割线，斜率为自由变量，即 带入二次曲线的方程，仅考虑二次和一次项，则有

由Vieta公式，则方程的两个根之和等于 其中一个根由假设 ，另一个根就是二次曲线上的点 ，于是有

同理， 可以由直线方程得到关于 的表达。于是，就存在两个关于k的有理函数

举个例子，譬如说圆的方程 ，它对应的双有理映射就是

对于刚才讨论的问题，对应的双有理就可以是 然后带入原积分就是有理积分了，从而能求出解。

当然，也有三角函数的代换，其实本质上是一回事，如图：

可以思考一下，绿线的斜率与蓝色弧所表示的夹角的三角函数有什么关系？？

当然，要是换成了三次曲线，就不一定存在双有理了（甚至解析同胚都木有了），就比如 。当然，要是出现了一些奇点就另说了。。。。。

上述所提到的一些操作和思路来源于沙法列维奇的代数几何（都是一些古典的数学技巧了。。。。