2021 年你的数学研究或学习有什么收获和感悟？ 第1页

2021年在科研上的投入几乎是0，产出接近0。和大家分享一个感悟吧。

“读博士的这几年是你可以投入科研的时间最多的几年。”

这是我读博的时候导师和我说的一句话。我从没有怀疑过这句话的真实性。然而要说有切身的体会，却是在这两年。

因为疫情来了，托儿所关了。

在托儿所关门的瞬间，作为两个小娃的爸爸，我就自动转职成了托儿所老师，大学老师变成了兼职。

带过孩子的都知道，两岁前的小娃，一个娃就需要一个大人一对一地盯死。两个娃彼此也没有互动，就需要两个大人。

幸亏有给力的岳母帮忙，我才有些时间剩下来处理教学的事。也幸亏疫情期间一直网课，还是录播，时间灵活。

但是科研就不能指望了。

我最大的感受是，科研是时间和精力的奢侈品。

什么是奢侈品？穷了，忍饥挨饿了，第一个砍掉的就是奢侈品。用经济学的话说，它的弹性是最大的。

每天早上醒来，想想今天有限的时间要干什么。

今天是做科研，还是备明天的课？如果时间只够做一件事，那我就没有选择：不备课明天讲什么？

明天是做科研，还是看后天tenure committee开会的材料？还是没有选择。不看材料，开会时候对着系主任胡扯吗？

后天有几个学生申请硕士博士的推荐信要到deadline了。我能拖着不给人写吗？

无论是教学还是行政，都是刚需。我可以尽量凑合一点，但是在这些事情上花的时间是有一个底限的。

只有科研，它完完全全是你自己的事情，没有固定的deadline。后果就是，在可支配时间严重不足时，科研是最先受影响的。

这两年的教学和行政，我都勉强完成了。只有科研，实在是有心无力，投入基本没有。产出还有一点，靠的是以前工作的时间差和给力的合作者们。

我对不起我的学生们。你们的论文本来可以更快地投出去的。我对不起我的合作者们，当了好几次free rider。我的学生和合作者们都是很好的人，他们很体谅我。但是我真地很愧疚。

所以更年轻的朋友们，尽管这句话很鸡汤，但是还是要珍惜现在可以自由做科研的时光。没准哪一天，你突然发现自己没有做科研的时间了。就像两年前的我，又何曾想到过一场疫情会耗费我两年全部的科研精力呢？

提早发好了。这篇文章也算经历了比较长的写作周期。有点长，介绍了四本书，读者可以选择性阅读。

不知不觉2021已经要过去了，我也想动动笔写一写今年的收获、这几个月的学习经历和关于未来的一些想法。

首先还是说一说为什么我不上知乎了。我从来不是自制力很强的人。当我意识到知乎越来越低质量的内容每天消耗我大量时间的时候，我就开始反思我不好的生活方式。于是我卸载了知乎，降低了发文章的频率。不得不说，这为我节约了些许时间。

但是作为一个记录者，我并不决定完全退出知乎。我以后大概每月上线一两次，隔三、四个月会总结一下学习情况，有心情的话也还会写一些教材推荐，讲义整理等等。这一篇是关于九月到十二月的学习总结，也是去年的学习总结。

一、年度总结：

先来一组统计数据，今年我系统的读了20本书，读完了11本：

[1] J-P. Serre, Linear Representations of Finite Groups

[2] Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds

[3] Gerald Teschel, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems

[4] M. F. Atiyah and I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra

[5] William Fulton, Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry

[6] James E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory

[7] J-P. Serre, Finite Groups: An Introduction

[8] J. S. Milne, Algebraic Number Theory

[9] Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations

[10] Shoshichi Kobayashi, Differential Geometry of Curves and Surfaces

[11] Walter Rudin, Functional Analysis

[12] Theodor Brocker and Tammo tom Dieck, Representations of Compact Lie Groups

[13] Simon Donaldson, Riemann Surfaces

[14] John W. Milnor, Topology: From the Differentiable Viewpoint

[15] Raul Bott and Loring W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology

[16] Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra

[17] Frank W. Anderson and Kent R. Fuller, Rings and Categories of Modules

[18] J-P. Serre, Local Algebra

[19] Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis and Zeta-Functions

[20] Lars V. Ahlfors, Conformal Invariants: Topics in Geometric Function Theory

封面是全家福。

其中我读完了[2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [10], [14], [17], [19]。其中[1]看了前两部分，[9]看了第一部分，[11]看了第一部分，[12]看了第一章，[13]还剩三章，[15]看了前两部分，[16]看了前五章，[18]还剩第一章，[20]正在看。其中[1]~[10], [13], [14]我在知乎上都创作了相应的介绍文章。

总的来说效率可观。下半年因为没有创作文章的想法所以读起来很自由，也几乎没有系统地写什么习题，都是算一下圈划出来就表示做过了。一个学习习惯的改变是我开始写一些短小的笔记，但大都很粗糙。

相信各位也大概明白了我的阅读习惯：我所选择的一般会是经典、半经典的教材，介于古老与现代之间。一个直观的特征是：读了6本GTM，且它们的序号全部小于100。我也喜欢短小精悍的小书，实在是没什么耐心去读宏篇巨著。我的主要兴趣点是代数，读了11本，几何和分析分别是5本和4本。平心而论，我的实力大概有“代数>分析>几何”这样的分布。

二、季度总结：

首先谈一谈这一季度的学习时间规划。这一学期的课业压力较重，最花时间的就是基础物理实验，做实验写实验报告一周就要花去一天。于是我周末几乎没有时间用来自学数学，只有周中可以自学。相对地，由于我施行了各种管制电子设备使用的手段，我摆烂的时间也大大减少。具体地说：我不带手机上课或自习，把手机上的对学习无意义的app删得干干净净，买了闹钟因而杜绝熬夜或赖床刷手机行为。结果是目前手机使用日均两小时，也许算是勤奋的大学生。这两种作用相中和，这个学期用来学习的时间应该是和过去两个学期差不多。

接下来就基本按我读的时间顺序来说说一说学了什么。主要介绍断更之后的偏向代数的四本，82寒假还会看看，Ahlfors虽然看了一半多了但还是留到下期再介绍。

（1）Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra

比较抽象的同调代数教材。我读了前五章，我大概从十月开始看，陆陆续续看到十二月，对同调代数失去了兴趣，就没再往下看了。老实说，这本书有点让我失望，可能是不太对我的电波。不一定会继续顺着这本书往下看了。

预备知识的话除却基础的代数，包括模论和范畴论初步，熟悉一点代数拓扑的思路可能会有用。第四章前几节有一些非交换模论的基础可能会觉得很适应，第三节以后的话可能要进一步的交换代数，不然一些证明是很难读明白的。我作为初学者看得有点痛苦，这本书可能适合第二遍学同调代数。一定要看一下weibel网上贴出来的勘误，不过好似还不全。这里有一个奇怪的地方，其他书我一般能很明显看出勘误，但对这本书前几章我失掉了这种能力。这也许说明了我对这种范畴化的想法并不熟悉，看的时候思维的相对跨度确实太大。我旁听的代拓老师强烈推荐的是下面Rotman的同名书。参考书：

Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra

李文威，代数学方法（第一卷）：基础架构

李克正，交换代数与同调代数

Xiong Rui(熊锐), Spectral Sequence, My Homological Saw

Daniel Murfet, Abelian Categories

在读这本书之前，我并不熟悉范畴论，我是靠李文威老师第二章和Weibel的附录慢慢熟悉了范畴论的基本语言。现在看来，我对范畴论也并不狂热——比起抽象的语言，我更关心它是怎么把具体的问题更高效地表达和解决的。

这本书大部分讨论是基于Abel范畴的，但感觉它却没怎么介绍Abel范畴，只是用一个Freyd-Mitchell嵌入定理一笔带过说明Abel范畴里的追图可以变成模范畴里的追图。老实说，我并不能很好的明白这个定理正确的表述和适用的范围，对于自己没有证过的东西也不能完全信赖。于是我尝试去进行一些Abel范畴上基本的追图，比如证明了蛇形引理等等，看的是李克正老师的书，发现确实要比元素追图麻烦许多。我认为作为例子，熟悉一下这几个基本的操作可能是有必要的。

后面第二章第三章导出函子和Tor、Ext函子都是基本的内容，不过有时候在正文中会突然出现一些神秘的习题。有一个有意思的内容是定理3.4.3里定义的映射和证明过程并不是完全匹配的，需要一个并不平凡的追图才能得到结论。提示一下，习题4.3.3对应的不等式应该有id_R(B)=<id_S(B)+fd_R(S)。后面你看到命题4.4.5证明的时候可能会卡住，但它确实是对的，可能你需要看看下面的Standard Facts，这里有一些交换代数的技术性结果。后面的局部上同调大概也只能到科普的程度。

谱序列这一章还算是能读的，但我推荐读 @仓鼠磨光 写的讲义，他把谱序列处理得很干净，将分次复形构造谱序列得技术细节全部讲清楚了。我读了前三节，发现笔误也不少。谱序列是个很有用的概念，前面的几乎所有理论都可以用谱序列重新解释。我也发现自从学了谱序列之后，无论什么东西我都想套上一个谱序列。这可能就是这种方法的魅力所在。

虽然我并不喜欢这本书，他写得密集而难读，但这本书确实教会了我一些同调代数知识。但是我觉得我并不会把这本书推荐给别人。当然，如果你觉得你承受的住，那你自然可以去领教weibel的教诲。

（2）Frank W. Anderson and Kent R. Fuller, Rings and Categories of Modules

挺有意思的一本代数书，深入讲环与模的。我与同调代数同期看的。这本书很明显让我感觉到它慢慢从平凡，过度到非平凡，而这些非平凡都藏在具体的细节中。大部分证明都有操作性，我满意。

预备知识应该不多，基本的抽象代数就够了。如果有交换代数基础，那也可以感受到交换代数理论与非交换的理论的共性与差异。同调代数对理解问题也会有所帮助，虽然它并没有在任何地方用到具体的同调。这本书习题很多，大部分比较简单，有些有点挑战性，我挑着浏览着做了大概一半。参考书也许可以看看林节玄老师的两卷。

T. Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings

T. Y. Lam, Lectures on Modules and Rings

可以说这本书研究的主要话题是模的直和分解，虽然看上去这个问题比较初等，但这本书让我发现这确实是一个有意思，值得研究的问题。虽然在一些有限性条件的加持之下分解会变得很好，但对更一般情形，我们需要发展更一般的理论和工具。一旦进入到无限分解的世界，反直觉的事情出现了，基数竟然在这个理论中扮演了重要的角色，令人惊讶（一个不那么有代表性，但足以令人惊叹的例子Eilenberg-Mazur骗术，这在17节的习题中出现；还有倒数第二章的有些地方）。这让我又一次见证了基数理论的魅力。最后一章的对拟Frobenius环的Faith-Walker刻画，我认为就是这个理论的一个集大成者，作者进行了一些狡猾的跳步，需要读者仔细检验。

理论一旦建立，定理就是平凡的了。比如说对半单性的刻画，就非常的自然。第五章深入讨论了投影模，内射模，平坦模性质，要比Weibel的同调代数深入一些。后面还讲了Morita等价、对偶理论。可以看出矩阵环所起到的基本用处。最后一章讲了一些箭图代数的东西，我没有太细看。

选取元素进行具体的计算的方法是最基本且最直观的。序和格的思想在这本书里也得到了体现。这本书用以说明问题的范畴论是朴素的，尚未到Abel范畴的程度。这几种基本思路在作者精心布局下相互启发，交相辉映。

这本书可能语言有点旧了，但仍不失为一本讲解十分清晰的好书。我将它推荐给想进一步学环与模理论的同学。

(3) J-P. Serre, Local Algebra

Serre写的有一本小书，内容是交换代数的一部分重要的内容。我因为看weibel第四章时发现不太熟悉交换代数的内容了，所以挑了这本书来复习一下，学一些交换代数的同调理论。事实上我也觉得这书符合serre一贯的风格，挺和我胃口。有一些神秘的小跳步，我基本都能补出来。

虽然说第一章快速回顾了一些基础的交换代数，包括了准素分解（缺少唯一性），但我认为要看这书最好是接触过一点交换代数。第三章之后还需要一点基础的同调代数，包括Ext和Tor函子的基础理论，weibel前三章绰绰有余。关于交换代数的参考书浩如烟海：

David Eisenbud, Commutative Algebra: With a View Toward Algebraic Geometry

Hideyuki Mastsumura, Commutative Ring Theory

Oscar Zariski and Pierre Samuel, Commutative Algebra Volume II

Irving Kaplansky, Commutative Rings

M. F. Atiyah and I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra

N. Bourbaki, Algebre Commutative

我只读了serre的前四章，第五章涉及相交理论，我完全没有直观所以没看。前四章给我的收获相当大。首先一点我觉得serre这里准素分解处理得比较干净，比atiyah的初等写法或需要好理解（听说Bourbaki对准素分解的处理最好，但我没看）。第二章还比较充分地介绍了整扩张，突出了它保维数这一特性。维数理论那里也相当不错，处理了正规环扩张问题，一下子便包含了Dedekind环的扩张为特殊情况。关于多项式这一具体的情况也介绍得相当有意思，你可以想一下它是怎么在证明Hilbert零点定理中发挥作用的。

Serre这本书基本把目光限制在比较好的范围里，比如说局部Noether环，这是合理的：非局部的情形往往只需要借助局部化来考虑，也就是大家熟知的局部性质。

针对同调维数、深度，我感觉对这一部分的处理，这本书写得比weibel对应部分好一些，虽然相对来说一般情况讲得没那么多。这里有个关于Euler-Poincare特征的等式，serre法语原版上是用的谱序列证明，英文版改掉了，可是我实在不太能读法语，于是竟然靠意念还原出了这个谱序列证明（注意它是同调递降分次，和标准谱序列略有差别），奇妙。这本书正则环和其他书定义有些许不同：serre要更强，即整体维数有限。关于局部正则环，serre介绍了很多结构性的东西，但是没有介绍它的唯一析因性，而是给了个Bourbaki参考，我看了一下那一部分好像很深入就没看，而是看了Mastsumura对应的第20节前半部分，感觉写得很不错，据Mastsumura的导言，这一小节摘自Narita的讲义。

虽然说这是第二遍学交换代数，但我还是感觉我只是摸到了交换代数的皮毛。如果接下来要继续学交换代数，我可能会考虑从Grobner基、微分代数、进一步的同调理论等方向入手，也许一个可行的办法是去读Eisenbud的一些章节，虽然这种厚书往往让我望而生畏。话说回来，我觉得Serre这本书并没有得到它应值得的推荐，我希望我的介绍能帮助一些人知道这本好书。

(4) Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis and Zeta-Functions

p进分析用分析的方法研究局部域。这本书可以算我最喜欢的书之一了，它介绍任何东西都相当的有动机，证明也相当清晰且有启发性。就比如说它引入 (其他书的记号为 ）时，很清晰讲了问题的阐发解决过程。

预备知识非常之少，只需要你会说基本的代数、拓扑话就可以。但是，就我目前学过的分析类课而言，实分析、复分析、泛函分析的思路在这本书里都有所展现，所以对分析一定的熟悉也许是相当有益的。下面第一本参考书的参考书列得很全。

Fernando Q. Gouvea, p-adic Numbers: An Introduction

J. S. Milne, Algebraic Number Theory

p进数的构造都是中规中矩的，这本书还着重强调了p进数的小数表示。第二章介绍了p进数插值理论，积分理论，并用它发展了p进zeta函数理论（注意这个东西并不同于后面weil猜想那个zeta函数）。其中还得到了一些Bernoulli数的同余性质，奇妙。p进数积分理论的思路和一般的积分理论思路非常类似，看到这一部分时我很震惊，如此观点的迁移能带来这样大的威力。

第三章我以为绝妙。它研究局部域的扩张理论，广泛地使用了数论之外的思路，你甚至可以看见泛函的想法在其中也起到了关键的作用。比起Milne的讲义，我觉得这一部分更能让我理解。这里它把局部域的扩张理论处理得非常彻底，甚至可以说做完了分类性的结果，定理也表述成了很容易理解的形式。在这种观点下，再去会看Milne讲义的一些结论，都觉得相当有感觉。比如说之前我念叨过的Dedekind定理（虽然我现在发现我之前不太能理解别的书上的证明是因为我当时理解力不行，现在看来那些证明都很初等和明显）。这两年的丘赛就考了这样一部分相关的内容。

第四章引入了一套幂级数方法，和复分析存在一定的类比价值，但有些性质要比复分析的好，有些要坏。 第五章给出了weil猜想的部分表述和关于其zeta函数有理性的证明，这应该是个相当深入的结果了。

这本书的习题本身非常有意思，我大部分的都思考过了。作者也很友好，答案全部附在书后了，方便核对思路。Koblitz用有限的篇幅为他的读者描绘了p进分析这以邻域的图景，阐明了思想。这本书应该推荐给所有对p进分析感兴趣的人。

三、未来期许：

寒来暑往，我已在国科大求学逾一个半年头，来到了本科光阴的中间。我也许有定期制定计划的习惯：从长远来看，我基本完成了我今年开始时制订的计划，并且远远超出了预期；但就这个学期的计划而言，我很不幸的只完成了一半，黎曼几何和多复变拖到现在还没学，估计黎曼几何还待留至寒假，而多复变因为已经由于阶段性放弃学复几何，转而去学数论而变得遥遥无期。计划并不都是顺利的，就像我们的人生一样，谁又能想到我会变得如此痴迷于数学？我不会告诉你答案，因为我也不知道答案。也许是这里有神秘的东西在不断吸引我，吸引我去探寻我们心智的荣耀。

不像去年，我今年并不打算整一个待读书目。事实证明，随着人认识的发展及外界环境的改变，计划不可能总是能与现实相匹配。但就努力方向而言，我有以下几个目标：

1.寒假我将继续学习黎曼几何与代数拓扑，会把82下半部分读完；

2.为了应付下学期的课业，我需要学习一部分概率论和解析数论；

3.我要学习严肃的代数几何学，我相信我已经为它打下了一个合适的基础；

4.我还想要学进一步的代数数论，包括类域论、模形式、椭圆曲线等等；

5.调和分析也受欢迎，无论是普通的还是抽象的；

6.多复变、复几何买了不看属实浪费，希望明年有时间也得学一下；

7.表示论也得学，希望能把李群的再学一点，也接触一下代数表示论；

8.分布理论，进一步的pde，会侧重于椭圆方程也许。

我兴趣过于广泛，想学的东西实在太多，以上也只是挂一漏万。往日都是我为大家推荐书目，我希望这次大家可以给我推荐一些相关（不相关也没问题）书目。

虽然间歇性摆烂还是会偶尔发生，但它大体上还是受控制的，我想我应该感谢我并不是特别强的自制力，

感谢我的父母为我提供生活资料，感谢他们包容我买书的任性，

感谢我的老师，我的同学，我的朋友，

以及所有支持我的人，

为了你们，

我要在新的一年，继续努力学习

一起加油！

新年快乐！