X²+Y²+Z²=114514存在多少组整数解？ 第1页
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设 为正整数，我们记方程
的整数解的个数为 , 这里我们考虑符号和排列. 例如方程
的整数解的个数为 ：
利用 模形式 的理论可以得到 的表达式！
定理 1：设 为正整数，则有唯一的分解 , 其中 , , 为整数，且满足 , 为奇数 , 为 基本判别式.
定理 2：我们设 为基本判别式， 则 为模 的 Dirichlet 特征. 其中 为 Kronecker 符号.
定理 3：设 为正整数，则
其中 为 Dirichlet L-函数， 为 Mobius 函数 , 为 的正因子之和.
定理 4：设 为模 的 Dirichlet 特征，则
现在我们来求 . 由于
则由 定理 1 知
由此我们可以得到
故有 . 由 定理 2 知 为模 的 Dirichlet 特征，再由 定理 4 并且借助 SageMath 计算可知
从而我们有
即方程
有 组整数解，这相当于说球面
上有 个 整点.
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