截断能与什么因素有关？ 第1页

技术上, 已有的答案已经差不多了. 这里我回答下截断能的物理概念.

实空间下截断距离的含义

我们从实空间开始讲. 考虑一个最简单的二维方格子.

如果我们需要对这个格子上的波函数进行离散化 . 那么这个x, y的取点该多密集呢? 我们不妨选一个长度d, 每隔d取一个点. 显然, d越小, 能描述的波函数就越精确, 当然计算量也就越大.

那么, 我们可以设定一个标准, 例如总能 , 在 减小的过程中, 会逐渐收敛. 当d小到一定程度, 我们就认为这个计算已经很可靠了, 我们就把这个临界值叫截断, 我们记为 .

截断距离的取值依据

那么这个 和什么有关系?

显然, 下面那个图里蓝色波函数就比红色那个需要的点多, 也就是d更小. 因为红色更平滑, 较大的取点距离d就可以很好的近似红色波函数. 因此, 波函数越平滑, 取点就可以越少, 就越大.

那么问题就变成了, 哪些波函数更平滑? 有比较明确规则的常见情况有:

1. 赝波函数. 上图就是这个对比. 全电子波函数显然接近原子的区域就震荡严重, 而赝波函数就比较平滑. 就目前的技术说, 对截断精度要求上, 超软赝势(US) < 投影缀加波(PAW) < 模守恒(NC) < 全电子.
2. 外层电子波函数. 相比于内层电子波函数, 外层电子波函数显然更平滑.

因此, 的大小, 也就可以由这些因素进行判断:

1. 是否与原胞大小有关? 无关, 晶格大小和取点密度的需求没有关系.
2. 是否与材料有无磁性有关? 有关, 磁性往往涉及到更深的内层(d, f)电子.
3. 是否与材料成键类型有关? 有关, 更为平滑的成键构型需要的截断能更小.
4. 是否与材料维度有关? 无关, 通过增加真空层降低材料维度, 与增大原胞大小效果相同.

然而, 虽然截断距离的取值和原胞大小无关, 但显然, 保持同样取点密度(截断距离)时, 原胞越大总取点个数越多. 而不幸的是, 哈密顿量和波函数的维度等同于取点个数, 因此计算更大原胞的时间会按 急速增加, 即原胞变成2倍, 时间变成8倍.

倒空间中截断能的含义

明白实空间截断距离的意义, 那么还有一个问题: 和常用软件(VASP, Quantum Espresso, Abinit)的截断能有什么关系呢?

这里要涉及到一个技术问题, VASP等软件, 都是基于平面波基组. 所谓平面波基组, 可以简单认为是倒格子基组, 用G表示. 在下图中用黑色点表示.

既然倒格子和正格子是倒数关系, 上面的截断距离d, 就需要取个倒数成为 , 也就是上图中那个大圆的半径了. 所有大圆里面的点, 就会被用来做基矢, 外面的就不要了.

为了简便期间, 我们用 的平方 来标记这个截断半径. 注意 是个动量, 因此 在原子单位下就可以记作一个能量, 就称为截断能.