如何简单地解释「超模（Supermodular）博弈」？ 第1页

谢邀。这个问题我修改了一下，加入了英文原词，因为“超模博弈”是实在太尴尬的翻译了，我还以为是一个用超模之间的竞争作为博弈论的一个小例子呢。

Supermodularity和Submodularity对应，其实本身是函数的一个性质，只是在博弈论中多有应用。性质就和题目中描述的一样，看起来有点拗口，但是用公式表示很简单：

这个式子表达的就是大家都在一个局中，你策略的变化如何影响我选择的策略的动机。在现实中，这种互相影响的情况很多，所以用super(sub)modularity可以很好的来抽象它们。

一个简单的例子就是垄断竞争的情况，一个行业有说多不多，说少不少个企业，说寡头谈不上，但是每一家也有一点市场力量和议价权。这种情况下，每家企业有两个变量，一个是价格，一个是产量。

那么当一家企业定价增加( )的时候，其他的企业都感受到了一点竞争的减弱，那么这意味着其他企业在现有的基础上提价的动机增加了，如果 表示企业的利润函数，那么显然：

, 这就是supermodularity了。一般来说，supermodularity意味着策略互补——这里面体现在一方价格增加，会导致其他人的最优价格普遍增加。

而当一家企业增加自己产量( )的时候，其他企业都感觉到了一点竞争的压力，这意味着其他企业的最优产量会减少，这意味着： ，这个就是submodularity。submodularity意味着策略替代——这里就是一方的产量的增加，会导致另外一方最优产量的减少。

无论是supermodularity还是submodularity都是表示博弈性质的工具，这个可以用在各个方面。比如如果我们要表示在一个群体里面有社会压力，那么当其他人都很努力学习的时候，你的最优努力程度也增加了，那么这个时候，其他人的努力和你的努力就是策略性互补的，所以就可以用一个supermodularity的函数来表示自己的效用函数。

当函数不可导的时候可以参看@sleepsoft 的答案，有一个更加一般化的超模博弈的解释。

司马老师那个答案有点问题，他那个条件其实要求的是凹性，本质上依旧是通过凹凸有致来求极值

但你看考虑一个不可微函数那条件就不适用了

supermodular game其实算是这种的general化——这种博弈不要求payoff function的拟凹性，但是保证了解集有良好性质(有纯粹战略解，存在least equilibrium point和greatest equilibrium point)

简而言之就是

一个博弈G满足

1）strategy profile

2) payoff function ui is supermodular in si

3) payoff function ui has increasing di erence in S

则G叫supermodular game

对这样个G，我们有Topkis 定理：

a） G为supermodular game

b）S非空紧致

c) ui is upper semicontinuous in si for each s-i

满足以上条件则解集 为非空的complete lattice，且存在greatest element 和least element

大多数结论可见

Topkis, D., Supermodularity and Complementarity, Princeton University Press, 1998.

这本书，我觉得算是博弈论和or进阶的必备数学教材

Supermodular game本身很成熟了，各大高校都搜的到课件——不过不一定在经济系，可能在ieor系