单相思的性别战的均衡是什么？ 第1页

谢邀。

教科书上对纯策略博弈论的直觉解释很多，但是混合策略往往主要是计算方法和思路一说就结束了，目前我还没看过有教科书上对混合策略中概率大小的策略性解释，所以这个答案中的解释方法当算是我原创的^_^

先设定一下博弈矩阵：

如果男女都看拳击：男： 2， 女 0；

如果男女都看芭蕾：男： 1， 女 0；

如果男看拳击，女看芭蕾： 男 0， 女 2；

如果男看芭蕾，女看拳击： 男 0， 女 1；

差不多就这样吧，男女都在一起，女无论做什么都是0，男女不在一起，男无论做什么都是0.

所以这个博弈没有纯策略的纳什均衡是显然的，这个类似于踢足球守门员和罚球者，因为如果一方知道了另外一方的选择，那么就会事先的调整自己的选择。 男的想看拳击，女的就去看芭蕾，而男的知道了女的去看芭蕾，男的也去看芭蕾，而女的知道男的看芭蕾，女的就去拳击……

下面简单算一下混合策略, 假定女生选拳击概率为 ,那么女生选芭蕾的概率就是 .

混合策略下男选什么都无差异，男选拳击的期望收益为 , 等于男选芭蕾的期望收益 ,所以女选拳击的概率为 ，选芭蕾的概率为

同样的道理，假定男生选拳击的概率为 , 那么女选拳击的期望收益当且仅当男选芭蕾，所以为 ，而女选芭蕾的概率为 ，所以男生选拳击的概率也为 为 ，选芭蕾的概率也为 .

上面的计算很简单，最终男女碰面的概率为 ，男女的期望收益都是 都略微大于二分之一，这个结果倒是有点意思，下面详细的分析一下为什么他们的混合策略是这样的：

女生选择拳击的概率小更容易理解，因为女生本来就可以从芭蕾上获得更大的效用；设想，如果女生以一半一半的概率选芭蕾和拳击，那么男生必然也以同样的概率来截自己的梦中情人；那么这个时候，女生就会想：反正我去看芭蕾和看拳击，都有一半的概率碰到这个讨厌的人，那我不如就多加一点概率到芭蕾上，因为毕竟我更喜欢芭蕾一些。所以这个博弈中，女生的随机策略中，是必然会倾向于一点自己所真正喜欢的活动的。

而男生呢，为什么男生会选择自己不喜欢的概率多一些呢？有两个原因：

1. 男生所有的效用，都有一个前提条件，就是和女生在一起。所以女生选哪个概率大，自己就应该选哪个多一些。给定女生选芭蕾比较多，那么自己强行的选拳击是毫无意义的，因为这只会进一步增加女生选择芭蕾的概率。

2. 第二个原因则非常的有策略性。因为这是一个完全信息的纳什均衡，就是说男女双方都知道对方的均衡策略是什么。那么，男生如果把概率倾向于选女生喜欢的芭蕾；就可以压迫女生为了避开他，而不得不去分配一些概率给拳击；这样反而增加自己在拳击场上碰到女生的概率，到时候女神被自己抓个正着，在旁边无奈的陪自己看自己喜欢的拳击，虽然只有九分之一的概率，但是九分之一也大于零，只要碰到了，这心理还不是美滋滋的？

我们再看看在普通性别大战中的博弈：

如果男女都看拳击：男： 2， 女 1；

如果男女都看芭蕾：男： 1， 女 2；

如果男看拳击，女看芭蕾： 男 0， 女 0；

如果男看芭蕾，女看拳击： 男 0， 女 0；

不提纯策略，就看这个博弈的混合策略均衡，是男女各自以2/3的概率选择自己喜欢的。其实这个概率也是很奇怪的：不是只有碰到一起才有效用么？为什么都很自私的分配了更大的概率给自己喜欢的呢？这里面的策略解释起来就和上面有显著不同：

1. 双方的效用都是要碰到对方才有，所以如果双方是一半对一半的选，那么必然有人会这么想：既然我怎么着碰到对方的概率都一样，那我为什么不偏向于自己一些呢？两个人都这么想，每个人选择自己喜欢的概率就超过了二分之一。

2. 第二个策略还在于，因为双方是互补的，并且双方都知道对方依赖于和自己在一起才能有效用，所以双方都希望能够逼迫对方选择自己喜欢的项目，从行为上，那就是选择一个大于一半的均衡概率并且让对方知道这一点。但是这里面又有了一个隐秘的囚徒困境：双方都希望通过概率上的承诺来压迫对方跟着自己走，结果就是谁也没有把谁压迫成功——双方有4/9概率会错开。所以在性别大战中，混合策略的期望收益是低于纯策略的期望收益的，就是因为这4/9的无效率的情况。