理想气体方程 pV=nRT 如何推导？ 第1页

这学期刚好学完热力学统计物理，看到这个问题想总结一下pV=nRT的几种推导方法，权当期末复习了

方法1：

由Boyle定律： 、Gay-Lussac定律：等压下， 、Charles定律： 等体积下， ，并定义 ，得到：

然后当一定量的理想气体从状态1 到状态2 ，设一个中间状态3 ，从状态1到状态3时： ，再从状态3到状态2： ，两式相乘得到：

所以得到：

方法2：用玻尔兹曼分布来求

组成理想气体的单个粒子的能量： ， 为动量的三个分量。

配分函数：

压强：

而 ，所以

方法3：使用微正则系综

假设气体有N个单原子构成，则气体的哈密顿量（通俗一点就是能量）：

在能量 到 中的微观状态数：

先求能量小于E时候的微观状态数： ，这样一来就有 。

令 ，可得

后面那个积分是n维球的体积，这是个数学问题，这里直接给答案了：

所以：

再根据玻尔兹曼公式：

忽略掉含有 的那一项，熵：

所以可以根据这个式子反解出E和N,S,V的关系：

从而得到：

于是有关系：

方法4：使用正则系综

同样先求单原子气体分子的能量：

再求配分函数：

得到压强：

所以：

其实用正则系综和玻尔兹曼分布求过程有点像

方法5：使用巨正则系综

步骤是一样的，先求巨配分函数：

这里面的 就是正则配分函数，上面已经求过了，这里直接拿来用

先求平均粒子数：

同样的有，压强：

所以： ，因为巨正则系综讨论的是开系，可能有粒子数的变化，所以用平均粒子数代替粒子数，但是当粒子数不变的时候

最后有：

总体来看用微正则系综最繁琐，其它的感觉都差不多，除了方法1之外

ps: 虽然tag有高中化学，但是这个问题已经过去三年了，题主应该上大学了吧，应该能看懂这些

考虑气体内的一个面元 ，受到的力为 。由压强的定义

下面计算 。以面元的法向量为 轴正方向。单位时间内面元左边给右边气体的动量设为 ，右边给左边的叫 。由动量定理

下面计算这两个值。设 为Maxwell速度分布函数。则单位时间内通过面元从左边到右边的气体分子的动量总值

从而

同理

也就是

求出上面那个积分就得到 ，也就是 。这与理想气体状态方程等价。证毕

估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段，将当前包含天使的多边形，按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好，每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。

直观看出，取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积，等分效率最高。令此线段长度 ，三角形边长 ，则：

这样，初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形，易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形，于是根据假设，天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环，至于无穷，天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程：

记魔鬼速度 ，则捉住天使的时间：

这个题目如此离散，不借助于数值离散优化不易得到全局最优解，建议大家来改进这个上界吧。

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按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形，上界可以改进为：

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直观看出，取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积，等分效率最高。令此线段长度 ，三角形边长 ，则：

这样，初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形，易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形，于是根据假设，天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环，至于无穷，天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程：

记魔鬼速度 ，则捉住天使的时间：

这个题目如此离散，不借助于数值离散优化不易得到全局最优解，建议大家来改进这个上界吧。

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按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形，上界可以改进为：

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