从泛函分析入手作为数学系的学习路径是否可行？ 第1页

不只是题主说的泛函和分析，我一直觉得，并且很多教过我的老师也都这样告诫过我，一上来初学的时候就只去追求那种过于『抽象』、『一般』的理论是没有根基的。这样的学习过程在有的时候反而会更加轻松，因为少了很多『繁杂恼人』的细节，而且自我感觉也学到了很多很漂亮的数学，但是这样做有很大概率会缺乏实质，变成所谓的『名词党』。就像Benson Farb在How to do Mathematics里说的：

那是在1989年，我开始读Milnor的书《示性类》，于是我坐在河边，坐在瀑布边，去读Milnor的书，这里很美，很干净，到了最后，我学到了很多奇妙的东西——比如从流形的曲率张量构造陈类，“我学到了不可思议的美丽和精妙的数学”，但是，突然，我想到，最简单的例子，环面吧，它的示性类，它的stiefel–whitney类是什么？（“我不知道！”），我才意识到我做不了任何事，我啥也不懂。Milnor的书很干净，很漂亮，但是我啥也没写下来，我以为我什么都知道了，但我什么都不知道。我只知道名词，我只能把它们说出来。我会吹牛，在讲台上大讲一通，但是，我什么也做不了。

而且，更关键的是，学习数学是为了要『用』它，不管是做纯粹的数学研究，还是用数学去解决各种各样的其他领域的问题。你会碰到的问题基本上都不是那种套几个理论，用几个定理都能解决的。就像 @dhchen 说的：

你不可能光靠“抽象”框架就解决问题，无论如何你都需要实锤。

就比如我从去年开始看的那几篇paper，那几个人就用contact form，geodesic flow之类的东西在homogeneous bundle上完全不涉及具体表达式的定义了一堆东西，看着形式上好简单好简单，而且整个逻辑上和我想做的东西完全的match。结果看完了具体做的时候才发现，根本不是那么回事。最后实在忍不住，给那人写了封信问了问，然后人家回信告诉我： you can express this in coordinates and see whether you would see some relationship。