左手定则的原理是什么？ 第1页

判断安培力和洛伦兹力方向的左手定则确实是高中物理中不那么“优雅”的一个规则。它需要很繁琐的规定，不像万有引力定律或者库仑定律那样简洁明了。但是其实我们有办法将其写作一种更优雅的形式。

在介绍这种形式之前，我们需要先明白左手定则实际上是叉乘的特殊形式，带电荷 的粒子在磁场 中以速度 运动时，所受的洛伦兹力即为 ，这一点其他的回答已经介绍得很明白了。

另外，磁场 实际上可以写作磁矢势 的旋度，即 ，其中 是所谓的nabla算子。

之后，我们跳出牛顿力学的框架，用分析力学来考虑这个问题。我们知道带电粒子的受力应该与其速度成正比，那么我们猜想：这个粒子的拉格朗日函数中，磁场的贡献就应该正比于速度和磁矢势的点乘 ，这是同时包含磁矢势和速度的最简单的形式，此外它也应该正比于电荷量 。这样的话，粒子的拉格朗日函数就应该写作

注意磁矢势 应该是位矢 的函数。

之后我们来解这个问题，利用欧拉-拉格朗日方程 ，其中 代表坐标，即为 、 或者 ； 代表速度，即为 、 或者 。可以得到

将 的表达式代入，就可以得到

这里注意到 是粒子的加速度，而

将以上两式代入 式，就可以得到

再利用矢量叉乘公式 可以将上式化为

发现这就是我们熟悉的左手定则的叉乘表达式。也就是说我们之前的假设是对的。考虑带电粒子在稳恒磁场中的运动时，只需要在拉格朗日函数中加入 这非常优雅又简单的一项。如果以此作为处理磁场问题的出发点，那么洛伦兹力和安培力的规律看起来就没那么丑陋了。