平面上溅落的液体是否服从什么空间分布？ 第1页

我来展开讲一下。

原问题可能存在一定的歧义，这里先重新描述一下问题，“当液滴撞击平板发生溅射后，会产生大小不同的液滴，那么这些液滴的直径服从什么分布”？这个问题即便抛开复杂的公式推导，也是很难讲清楚的，我尝试简单讲一下。

首先给出答案，液滴的直径服从一个伽马分布的叠加[7]。先了解一下这个伽马分布，记 为液滴直径， 为液滴的平均直径，那么这个伽马分布可以写为，

其中 为一表征液滴破裂前液滴表面波动的参数，实际应用中一般取 ~ 。 表示伽马函数。这个分布的图像长这样，

而这个伽马分布的叠加为

其中 表示 阶贝塞尔函数， 均为表示液面波动的参数。实际应用中一般采用拟合的方式获得。

下面我们来捋一捋这样一个复杂的分布是怎样得来的。由于我们关注的是溅射后产生的小液滴直径，所以得先知道小液滴的具体产生过程是怎么样的？这里就可以安排一个实验了，如图2所示，设计液滴撞击一个等直径的固壁，这样有利于高速摄像机观察。

如图3,4所示，当液滴撞击固壁后会形成薄液片，随后不断扩展，同时薄液片外圈由于失稳会产生突出的液带(liquid ligament)。当液带越伸越长后，最终会在表面张力的作用下断裂，形成大小不同的液滴。

所以问题的关键在于液带断裂后产生的不同液滴的直径该如何计算？这其实是一个异常复杂的问题。为此，法国学者Villermaux引入了一个非常巧妙的模型[1]，把液带看成由不同大小的液滴组合而成，液带的演化则是相邻液滴的融合过程，如图5所示。

如此一来，便可以借用统计物理中著名的斯莫卢霍夫斯基凝结方程[3,4]（Smoluchowski coagulation equation）。

结合图6解释一下这个方程，第一项表示体积为 的颗粒与体积为 聚集后密度将会减少，第二项表示体积为 的颗粒与体积为 聚集后导致体积为 的颗粒密度增加， 表示凝结核。

将此方程应用到液带断裂问题中，可以得到一个液带演化方程[2]，

其中 表示卷积符号， 。注意 与 的区别， 依然表示液面波动的参数。这个方程没有解析解，但存在一个渐进解，便是伽马分布，

其中 表示颗粒总数。至此我们的准备工作已经完成。

下面回到液滴撞击平板溅射后的液滴产生过程，给个更清晰的实验结果，如图7所示，撞击过程中，首先产生薄液片，薄液片外圈失稳产生液带，最终液带破裂产生不同直径的液滴。这里又有一个比较巧妙的思维过程，薄液片外圈其实可以看做一个环形液带，如此一来，环形液带产生普通液带，普通液带产生液滴，这实际上是一个迭代过程。

因此，最终液滴直径的分布是一个伽马分布的叠加[7]，用公式推导表示为，

其中 表示液带平均直径， ， 。

这个公式可以这么理解，环形液带产生平均直径为 的液带的概率为 ，而平均直径为 的液带产生直径为 的液滴的概率为 。因此，产生液滴 的概率为 的乘积对 进行积分后的结果，其形式为，

最后看一下实验结果，

如图8所示，理论结果与实验结果对比良好，参数区间也较大，是令人信服的。

从参考文献中可以看到，这个问题主要是由一位法国学者Villermaux做出来的。这位学者在液体的破碎与凝聚领域作出了杰出的贡献，写了三篇非常有影响力的综述[2,5,6]，所以我认为他值得有一个中文名，Villermaux翻译过来应该是维莱默吧。

【参考文献】

【1】Villermaux E, Marmottant P, Duplat J. Ligament-mediated spray formation[J]. Physical review letters, 2004, 92(7): 074501.

【2】Villermaux E. Fragmentation[J]. Annu. Rev. Fluid Mech., 2007, 39: 419-446.

【3】Smoluchowski M. Versuch einer mathematischen Theorie der Koagulationskinetik kolloider Lösungen[J]. 1917.

【4】Aerosols: Science and technology[M]. John Wiley & Sons, 2011.

【5】Eggers J, Villermaux E. Physics of liquid jets[J]. Reports on progress in physics, 2008, 71(3): 036601.

【6】Villermaux E. Fragmentation versus cohesion[J]. J. Fluid Mech, 2020, 898: P1.

【7】Villermaux E, Bossa B. Drop fragmentation on impact[J]. Journal of Fluid Mechanics, 2011, 668: 412.