陶哲轩这篇关于 N-S 方程的证明具体是得出了什么结论，对 CFD 会有什么深远影响吗？ 第1页

谢邀，先说好NS不是我的主攻方向，我只是顺便看过一点，所以要通观全局谈它对CFD的意义对我是很难的，我简短地说一下这篇论文的意义就好了，首先NS问题

可以转化为抽象问题（利用Leray projection，压力项被消解，然后viscosity 被单位化）

,

其中 被称为 Euler bilinear operator, 它满足cancelation property: ,

数学家有个思路，就是对于一类 抽象的bilinear operator ，这类算子和 Euler bilinear operator具有类似的非线性结构，比如：满足cancelation property。但是，它不一定等于 。 如果这个更强的结果成立，那么NS问题相当于解决了，或者我们先证明一类和 相似的正则算子 有解，然后取极限。 这个思路有点像为了证明椭圆形方程，我们证明对于任意的自伴正定算子 , 抽象 方程总是有解的。但是陶哲轩做的工作相当于告诉别人，这条路是不通的，他构造一种对称平均版本(average symmertry)的 ，写作 ,抽象方程

,

对于一个初值 会在有限时间内爆炸（也就说全局解不存在）。 值得一提的是， 也具有cancelation property，换句话说它和 的相似程度很接近了，当然了，tao也解释了它们在很多性质上的类似性：所以这篇文章的意义一开始就说明了：

demonstrate that any proposed positive solution to the regularity problem which
does not use the finer structure of the nonlinearity cannot possibly be successful.
如果不通过增加更好的非线性结构证明原NS方程的努力都不会成功。

在陶哲轩之前其实大家发现如果cancellation property不存在那么很多方程都会爆炸，即使这个性质成立，在高维度( )大家也证明处这类方程会爆炸。tao第一个做到了三维，值得一提的是，tao选择的 和原来的线性算子很接近，换句话说，如果按照这个思路往前面改进，也许我们能证明这个构造反例的思路在原问题中也是成立的。

will only retain a carefully chosen (and carefully weighted) subset of the nonlinear
interactions present in the original operator B, with the weights designed to facilitate
a specific blowup mechanism while suppressing other nonlinear interactions that could
potentially disrupt this mechanism. There is however a possibility that the proof strategy
in Theorem 1.5 could be adapted to the true Navier-Stokes equations

同时也给那些试图证明 方程的人，你一定要用一些可以区分原算子和平均化算子的方法。

any strategy that fails to distinguish between the Euler bilinear operator B and
its averaged counterparts B˜ is is doomed to failure.
无法区分 和 的思路都是注定失败的。

由于本人对于NS问题不甚了解，只是基于崇拜而膜了一下这篇文章，有什么疏漏，欢迎大家讨论。

PS: tao算是封杀了哈萨克斯坦某数学家的抽象证明思路。同时，我有一个老师，他曾经也认为自己解决了NS问题，高兴了一阵子，他的思路也是抽象思路，这个反例算是给后来人立了一个禁止的标志。