可测集多还是不可测集多？ 即一维，直到n维的欧氏空间中，可测集类和不可测集类是否等势？ 第1页

xy. 补充一个定理：记实数集的基数是 ，那么Borel集全体，即开集闭集区间全体生成的 代数的基数也是 . 我们知道，任何一个可测集一定能够写成一个零测集和Borel集的无交并. 这个定理说明，虽然说可测集和不可测集基数一样多，但是占大多数的部分其实反而是测度意义下不重要的部分。换句话说，要不是零测集来凑数的话可测集就没那么多了括弧笑。

这个定理的证明要涉及生成 代数的结构问题。我记得做实变助教的时候看到好多小朋友直接写Borel集就是开集闭集可数次交交并并出来的，其实远远不止。证明过程中可以看出，生成 代数的构造是一步一步按照序数(ordinal)做编号做上去的，每一步相当于是上一步得到的集合的至多可数次运算的结果全体。然后利用超穷归纳，一直做到第一个不可数的序数，才能得到最后的Borel集。夏道行先生的书上有这个结论，但是要看明白还是要学一点集合论的。

最后，感觉题主的后一个问题其实没什么意思……我们知道每个正测度集合里面都有不可测集，但是反过来的命题没什么意义吧，毕竟全空间是正（无穷）测度的可测集，而且我们很容易构造一个实数集里面的不可测且外测度是正无穷的集合。

谢邀: 一样多，都是 . 我们就拿一维空间说明即可。考虑Cantor集合 ，这个集合是一个0测度集合但是它的基数却是 和实数一样多。 它的任何一个子集自然是可测的，于是这个集合本身就包含了 个 可测集合，于是实数中的可测集合肯定大于这个基数，另一方面，实数的子集基数就是 . 所以，可测集合的总数就是 .

我们知道任何一个正测度集合中至少包含一个不可测集，不妨认为取区间 中的一个不可测集合 ， 对于任何一个Cantor集合 中的子集 ,集合 一定不可测，这种不可测集合的基数自然和Cantor集合子集的基数相同，于是这类不可测集合数目是 。所以，实数中的不可测集合的基数也是 。

学好Cantor集合多重要啊。