问题

如何向六年级的孩子解释-1×(-1)=1?

回答
嘿,孩子们!今天咱们来聊一个有点小神奇,但其实又特别好理解的数学问题:为什么负一乘以负一等于正一?

咱们先别急着算,先从生活里找找感觉。

第一种感觉:方向和抵消

你们有没有玩过跷跷板?一个人坐上去,它就往下沉。如果另一个差不多重的人也坐上去,跷跷板就平了,对不对?这就有点像“抵消”的意思。

咱们把“乘以”想象成“往某个方向做动作”。

正数乘以正数: 想象一下,你有一个东西(比如一个苹果),再来一个苹果,那你就“得到”了两个苹果,还是正的,对吧? 1 × 1 = 1 就像一个苹果,再来一个苹果,那就是两个苹果。 (这里我稍微调整了例子,因为1x1=1是说一个东西,再来一个,就是总共一个。) 1 × 1 = 1,比如我有1块钱,我又得到1块钱,我现在就有2块钱。(这个例子其实更适合 1+1=2,我们还是回到“乘以”的含义上)

咱们换个方式想:
“乘以2” 就像“往某个方向再来一份”。
“乘以1” 就像“往相反的方向来一份”。

现在,咱们想象一下,你站在一条直线上,0是你的起点。

1 × 1 = 1: 你往前面(正方向)走一步,你就在1的位置。
1 × (1) = 1: 你往相反方向(负方向)走一步,你就到了1的位置。

那么,(1) × (1) 是什么意思呢?

1 已经告诉你,咱们要往“相反方向”。
乘以1 意味着,“往相反方向”再来一份。

所以,如果“1”是往前面走,“1”就是往后面退。

“乘以1” 是“往前面走1步”。
“乘以1” 是“往后面退1步”。

那么,“1 乘以 1” 就是:“往后退(1)的方向,再往相反的方向(乘以1)来一份。”

往后退的方向,然后再往相反方向,那不就是回到前面了吗?所以,(1) × (1) = 1。

想象一下,你先往后退了1步,然后有人让你“把刚才那个往后退的动作,反过来做一遍”,那你自然就往前走了1步。

第二种感觉:规则的延续

数学有时候就像一个游戏,我们要找到一套能让游戏一直玩下去的规则。

咱们来看看一个数字序列:

3 × (1) = 3
2 × (1) = 2
1 × (1) = 1

你们有没有发现一个规律? 从上面到下面,第一个数字(3、2、1)是每次减1,结果(3、2、1)呢? 也是每次加1!

好,咱们把这个规律继续下去:

3 × (1) = 3
2 × (1) = 2
1 × (1) = 1
0 × (1) = 0 (任何数乘以0都等于0,这个规则大家都知道吧?)

继续往下,第一个数字从0变成1,每次还是减1。那么,结果应该怎么变化才能保持“每次加1”的规律呢?

0 × (1) = 0
1 × (1) = ?

你看,从0变成1,是减了1。那么结果呢? 0 变成什么数,才能让这个规律(每次加1)继续下去呢?

0 加上 1 就是 1!

所以,按照这个规律的延续,1 × (1) 就应该是 1。

第三种感觉:借钱和还钱

这个可能稍微有点绕,但也能帮助理解。

1 × 3 = 3: 你借给别人3块钱,然后你觉得“行,就这么着吧”,结果是你“有”3块钱。 (这里有点牵强,我们换个思路)

让我们回到“抵消”和“方向”的感觉。

假设“负数”代表“欠债”或者“往后”。
假设“乘以”代表“重复”或者“执行”。

(1) × 3: 你欠别人1块钱,然后这种情况重复了3次。总共你就是欠了3块钱,也就是 3。
(1) × (1): 这个就比较抽象了。咱们这么想:
1 代表“欠债”这个状态。
乘以1 就像是“把这个状态‘反过来’”。

你“欠债”的状态,反过来是什么? 就是“拥有”或者“赚钱”。

你“欠债”这个事实,被“反过来”了,那结果就是你“拥有”或者“赚钱”了。

所以,(1) × (1) = 1。

为什么数学里要这样规定?

其实,数学家们规定 1 × 1 = 1,是为了让整个数学系统更完整、更一致。就像玩游戏,你得有规则,不然就乱套了。

如果1 × 1 不是1,很多其他的数学公式、定理可能就会出问题,整个数学大厦就会摇摇欲坠。

你可以把它想象成一个约定俗成的规矩,就像我们说“数字1开头,后面加0就变成10”,这是一个大家都遵守的规则,让数字系统能够正常运作。

总结一下,孩子们:

方向感: 负数代表相反的方向,乘以负数就是把方向反过来。负方向再反过来,就是正方向。
规律延续: 数学有很多隐藏的规律,1 × 1 = 1 能够让这些规律保持一致。

下次再遇到这个题目,试试用这些方法想想,是不是觉得没那么神秘了? 你们觉得哪种解释最容易理解呢? 试着自己也举举例子,这样就能彻底明白啦!

网友意见

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不要拘泥于形象化,如果想要尽早培养对数学的感觉的话,对乘法的理解其实是个整体性的问题。如果你觉得(-1) * (-1)可以用形象化的方式解释,那分数乘法要怎么解释呢?无理数的乘法要怎么解释呢?虚数乘法又怎么办,为什么i * i = -1?

如果是我的话,我就会这么解释:

首先,我们引入乘法,最开始是为了解决“3个4是多少”这样的问题,我们说“a个b是多少”,就是在问 是多少。

如果a是个自然数的时候,a个b是多少这个问题比较好解决,实际上就是a个b相加, 。但是这样相加毕竟不是办法,而且如果a不是自然数就比较麻烦,所以我们得找一些更本质的规律出来。

这里a和b是用字母代替具体的数,使用什么字母并不重要,比如相应的,“a个c是多少”,也就是 。

既然我们考虑的是“a个c是多少”,那我们可以想到,“a个c加上b个c”,应该就是“a+b个c”,这两者的结果应该是一样的,也就是我们熟悉的乘法分配律:

再考虑,“b个(a个c)是多少?”我们可以先算a个c是多少,再用乘法算总和的b个是多少;也可以先考虑总个数,也就是“(b个a)个c是多少”,这两者也应该是一样的,这就是我们熟悉的乘法结合律:

这两条规律只和我们说的“a个b”的概念有关,跟a是不是自然数似乎没有关系,所以我们会希望不管a和b是什么样的数,这两条定律都要对乘法成立

最后,“1个b”的结果应该就是b,“0个b”的结果应该是0,也就是:

我们现在找到了乘法的四条规律,我们反过来看看最开始提出的a是自然数时候的乘法的结果,它实际上是可以推导出来的,我们知道自然数a = a个1相加,也就是

于是

也就等于

现在如果a不是自然数,而是个正的分数呢?我们设 ,p和q都是自然数,则有

所以

既然是q个 ,那也就可以用乘法写成

乘法的逆运算是除法,也就有

可以注意到这个公式也可以用我们前面提到的结合律推导出来,可以自己练习一下。


那么如果a是个负数,要怎么办呢?

我们注意到 ,所以有

和为0的两个数互为相反数,所以有

所以,如果我们希望乘法的分配律对负数也成立,则一个数乘以一个负数就等于乘以它的相反数,再取负值。

根据前面的规律,我们知道有

所以就有


除了以上规律以外,我们还知道乘法有交换律,即 。其实这条规律是最难以解释的,对于六年级孩子来说,只能解释为它恰好对于我们目前学过的数都是成立的。如果想要更深入一些的话,大致可以从这样的角度:

a是自然数的时候,a个1加起来正好就是a,所以有

a和b都是自然数的时候,可以将结果分成a组,每组是b个1相加,将这些1重新分成b组、每组a个,可以知道 ,跟书本上数长方形的格子数的意思是一样的。

a和b中有负数和分数的时候,可以通过前面的公式转换成自然数乘法,从而分别证明出几种情况下都符合交换律。

交换律的成立并不是那么自然的,随着以后数学的学习,也会接触到不符合交换律的乘法。

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定理:如果想把乘法从非负整数扩张到全体整数,而且要求几个运算律(任何数乘1为自己,乘法与加法分配律,加法与乘法的交换律和结合律)继续成立,则别无选择只能定义-1×(-1)=1。此外,前述要求也确定了所有负整数之间的乘法之“负负得正”法则。

证明:易证。留作习题。

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俺孩子今年五年级, 他喜欢在 SCRATCH 上编游戏。


俺数学很烂也很差, 所以只能用看图说话的方式来帮助他理解。

俺是这样解释的:


俺画了一个直角坐标。

笛卡爾坐標系(Cartesian Coordinate System,也稱直角坐標系)在數學中是一種正交坐標系,由法國數學家勒內·笛卡尔(René Descartes)引入而有此名。二維的直角坐標系是由兩條相互垂直、相交於原點的數轴構成的。在平面內,任何一點的坐標是根據數轴上對應點的座標設定。在平面內,任何一點與坐標的對應關係,類似於數軸上點與坐標的對應關係。


俺让他找出 (1,0), (1, 1), (-1, 0) 和 (-1, -1)。

然后,再让他在 SCRATCH 上面描出这个坐标系以及这四个点, 再点亮这四个点。

最后, 告诉他乘以 (-1) 只是改变方向而不改变大小。再让他在 SCRATCH 上面描出点亮

(+1, -1), (-1, +1), (0, +1), (0, -1)。


俺还告诉他, “Two negatives make a positive”,让他认为是他自己发现的真理。

当然,也编了几道两元一次方程和开括号的练习给他测试,随后, 加上一点答疑的过程, 看看他的思维有没有错乱的苗头。


事情结束以后, 给他奖励一根雪条 (popsicle),称赞他比爸爸聪明, 将来啃腚大有作为。

基本上和驯兽员训练海豚差不多。



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** 关于这个话痨的答主

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我说一个方法。

拿一个表盘。啥叫负一,就是反方向呗。

反方向的反方向就是正方向。

几何是最直观的最科学的感受数学概念的方法。

微积分直接上加速度。

线性代数直接上三维空间图形变换。

概率论也能上三维曲面坐标图。

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画个轴分成两半,乘以-1表示右边的轴转半圈到左边,再转一下就回来了。

这还有助于以后理解虚数单位。

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题目没解释 是什么意思啊,那我就当作幺环中乘法幺元的加法逆元处理可以吧?


设 为一个集合, 和 为定义在其上的二元运算(分别称为加法乘法),称代数结构 为幺环,如果它满足:

  • 是一个阿贝尔群,即:
    • 是封闭的
    • 加法交换律
    • 加法结合律
    • (称满足这一性质的 为加法幺元
    • (称满足这一性质的 为 的加法逆元
  • 是一个幺半群,即:
    • 是封闭的
    • 乘法结合律
    • (称满足这一性质的 为乘法幺元
  • 乘法对加法的分配律,即:


定理1: 中仅存在一个加法幺元

证明:设 和 都是加法幺元,则 。

之后把这唯一的一个加法幺元记为 。同理, 中仅存在一个乘法幺元,记为 。


定理2

证明: 设 为 的一个加法逆元,则:

这称为加法消去律


定理3:对每个 ,仅存在一个加法逆元

证明:设 和 都是 的加法逆元,则 ,根据消去律,

之后把 的这唯一的一个加法逆元记为 。


定理4

证明: ,根据消去律,

所以 与 互为逆元。


定理5

证明: ,根据消去律, ; 同理。


定理6

证明: ,所以 与 互为逆元,所以

同理可证,


定理7

证明


回到原题,则 。

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很简答啊,和初一的孩子学负数时候一样解释就行了。

你还记得上初一时候数学老师是如何解释“负负得正”的吗?

如果不喜欢,再给你提供其他5种小学生可以理解的方法。

1.最简单的解释 :“负负得正”是一种规定。

别看不起这个解释,数学本质上就是建立在一大堆“规定”上的。

比如,为什么0代表正负数的原点,为什么用10进制,数学本身就是一种工具,是人提出的规定合集。

课程不讲为什么,只提到“负负得正”是一种规定,让学生记住并能运用,很多人小时候就是这么被教的。等到他们的逻辑能力和知识储备足够理解时候,才会详细告诉为什么。

这类的规定或者公理其实在小学还有很多:

1.两数相加交换加数的位置,和不变。

2.两点之间,线段最短。

3.零不能做除数。

其中的一些在之后的学习中可能会学会证明,但别小看这些公理,看似简单的内容,如果想要证明未必那么简单。

2.逻辑的解释“双重否定等于肯定”

这个相对从语言逻辑上容易让孩子理解。

“他没有理由不接听电话”= “他会接电话”。否定两次就变成了肯定。

数学上也可以想象为类似的情况,负代表否定的话,双重否定就是肯定即正数。

3.从乘法的意义来解释

乘法的意义可以理解为是一个事情发生了多少次,2个数相乘,一个数有单位表示个数,一个数没单位表示次数。

一个数正负的意义是得到失去,次数的正负意义是发生少发生还是多发生,而”失去“少发生等于得到,所以负负得正。

举例说明:

一个小朋友每次考满分被奖励2个苹果,连续考10次满分,记为2X10=20, 得到20个苹果。

假如他其中有3次没有拿到满分,每次扣掉2个苹果,记为-2X3=-6,得到20-6=14个苹果。

假如其中有一次是看错了成绩,发现后纠正了,减少一次扣掉苹果的次数,记为-2X(-1),实际上和刚才对比能多拿到2个苹果,14+2=16个苹果。

4.M克莱因的解释法

M克莱因是美国数学史家、数学教育家与应用数学家,数学哲学家,应用物理学家。他曾经提过一个比较简单理解负数乘法的解释。

假如一人每天欠债5元,记作-5,那么“每天欠债5元、欠债3天”三天后的财产状况可以用数学来表达:3×(-5)=-15。

那么假如有这么一个人,欠债三天后财产情况恰好是0元。请问他三天前财产是多少元呢?

显而易见,是15元。

如果我们用-3表示3天前,用-5表示每天欠债,那么3天前他的经济情况可表示为(-3)×(-5)=15。

5.用小学之学会的简单数学公式理解的方法

(-1)×(-1)

=(-1)×(-1)+0×(-1)

=(-1)×(-1)+[(-1)+1] ×1

=(-1)×(-1)+(-1) ×1+1×1

=(-1) ×(-1+1)+1

=1

6.实际上,证明这件事很难。

在数学概念中,以“实际事物的原型”替代“数学的证明”的做法其实是不妥的。

数学中的证明不是个例的验证,数学不是物理、化学、生物那样的实验科学,它的命题具有一般性,不能依靠检验个别案例完成对一般结论的证明。

上面这句话的通俗解释就是”哪怕你举了一万个例子,只要不能证明所有情况下都成立,就不叫数学证明。“

”负负得正”可以说是数学中的一种规定。

在数学工具中人类发明负数的概念时,我们首先要定义什么是负数。

a+b=0就把b定义成a的相反数(负数),记为–a。

由于ab+(-ab)=(a+(-a))b=0b=0,因此。-ab是ab的相反数。

由于-ab+(-a)(-b)=(-a)(b+(-b))=(-a)0=0,因此(-a)(-b)是-ab的相反数。

从而(-a)(-b)=ab

当我们把非负整数所满足的运算律用于负数时,两个负数相乘的结果只能是正数。

对于六年级的孩子,个人认为其实知道这种数学概念并记住就行了,因为未来他会接触越来越多很难用现实例子来形象表示的数学概念,非要举例之后可能也会遇到理解的困难。

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