方程 cos(x) = x 的唯一实数解是不是超越数？
方程 $cos(x) = x$ 的解
这个方程并不存在一个简单的代数表达式来表示它的解，不像我们求解 $x+2=5$ 得到 $x=3$ 这样直接。它是一个超越方程，意味着我们无法用基本的算术运算和根式来精确表示其解。
我们首先来确认这个方程确实有一个唯一的实数解。我们可以从函数的角度来理解：
1. 函数 $f(x) = cos(x)$: 这个函数在 $[1, 1]$ 的区间内取值，并且它的值域是 $[1, 1]$。
2. 函数 $g(x) = x$: 这条直线穿过原点，斜率是1。
我们正在寻找的是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的交点。
存在性:
考虑函数 $h(x) = cos(x) x$。我们寻找 $h(x) = 0$ 的解。
当 $x=0$ 时，$h(0) = cos(0) 0 = 1 > 0$。
当 $x=1$ 时，$h(1) = cos(1) 1$。由于 $cos(1)$ 的值小于1（因为1弧度大约是57.3度，$cos(57.3^circ)$ 远小于1），所以 $h(1) < 0$。
由于 $h(x)$ 是一个连续函数（$cos(x)$ 和 $x$ 都是连续函数），并且在 $x=0$ 时大于0，在 $x=1$ 时小于0，根据介值定理，在区间 $(0, 1)$ 内必然存在至少一个解。
唯一性:
我们来考察 $h(x)$ 的导数：$h'(x) = sin(x) 1$。
在区间 $(0, 1)$ 内，$sin(x)$ 是严格单调递增的，并且 $sin(x) > 0$。
因此，$h'(x) = sin(x) 1$ 在 $(0, 1)$ 内是严格单调递减的，并且 $h'(x) < 1$（因为 $sin(x)$ 在 $(0, 1)$ 内小于0，所以 $sin(x)1$ 总是负的）。
由于 $h'(x) < 0$ 在整个区间 $(0, 1)$ 内成立，这意味着 $h(x)$ 在 $(0, 1)$ 内是严格单调递减的。
一个严格单调递减的函数在一个区间内最多只有一个零点。因此，方程 $cos(x) = x$ 在 $(0, 1)$ 内有且仅有一个实数解。我们可以将这个唯一的实数解记作 $alpha$。
什么是超越数？
超越数是一个非常重要的概念，它指的是那些不是代数数的实数或复数。
代数数 (Algebraic Number): 一个数 $xi$ 如果是某个以有理数为系数的非零多项式的根，那么它就被称为代数数。
例如，整数（如 2）是代数数，因为它们是 $x2=0$ 的根。
有理数（如 1/2）是代数数，因为它们是 $2x1=0$ 的根。
无理数如 $sqrt{2}$ 是代数数，因为它是 $x^22=0$ 的根。
甚至像 $1 + sqrt[3]{5}$ 这样的数也是代数数，它们是更复杂的多项式的根。
圆周率 $pi$ 和自然对数的底 $e$ 都是著名的超越数。
超越数 (Transcendental Number): 如果一个数不是代数数，那么它就是超越数。
也就是说，对于任意一个以有理数为系数的非零多项式 $P(x) = a_n x^n + a_{n1} x^{n1} + dots + a_1 x + a_0$，其中 $a_i in mathbb{Q}$ 且不全为零，我们都有 $P(xi) eq 0$。
方程 $cos(x) = x$ 的解是否是超越数？
现在的问题就转化为：这个唯一的实数解 $alpha$ 是否为超越数？
这成为了一个非常深刻的数学问题。这个问题的答案是：是的，方程 $cos(x) = x$ 的唯一实数解是超越数。
然而，要严格证明这一点，需要借助一些非常高级的数学工具和定理，特别是涉及到“微分方程的解的超越性”的研究。这是一个相当复杂且非直观的领域。
简化的论证思路（非严格证明）
一个非严格但可以帮助我们理解的方向是，如果 $alpha$ 是代数数，那么它应该满足一个以有理数为系数的多项式方程。但是，$cos(x)$ 本身不是一个多项式函数，它是一个超越函数（其泰勒级数是无限的）。
$cos(x) = 1 frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} frac{x^6}{6!} + dots$
如果 $alpha$ 是代数数，那么 $cos(alpha)$ 理论上“应该”也是代数数。这是因为代数数在加法、减法、乘法、除法（除数不为零）以及取根运算下是封闭的。一个关于超越数的著名定理是林德曼维尔斯特拉斯定理 (LindemannWeierstrass Theorem)，它有很多推论，其中一个重要的推论是：
推论: 如果 $alpha$ 是一个非零的代数数，那么 $e^alpha$ 是超越数。
另一个推论: 如果 $alpha_1, dots, alpha_n$ 是代数数，它们在域 $mathbb{Q}$ 上是线性无关的，那么 $e^{alpha_1}, dots, e^{alpha_n}$ 在 $mathbb{Q}$ 上也是线性无关的。
这个定理与三角函数的关系在于欧拉公式：$e^{ix} = cos(x) + i sin(x)$。
为什么 $cos(x) = x$ 的解是超越数？
这个问题可以通过证明一个更普遍的命题来解决：如果一个非零的代数数 $alpha$ 的余弦值 $cos(alpha)$ 是代数数，那么会导出矛盾。
让我们假设 $alpha$ 是方程 $cos(x) = x$ 的唯一实数解，并且 $alpha$ 是一个代数数。那么，根据方程，$cos(alpha) = alpha$。因为我们假设 $alpha$ 是代数数，所以 $cos(alpha)$ 也是代数数。
现在，我们可以尝试利用与指数函数和代数数相关的定理来寻找矛盾。
1. 我们知道 $e^{ialpha} = cos(alpha) + isin(alpha)$。
2. 如果我们假设 $alpha$ 是代数数，那么 $cos(alpha) = alpha$ 也是代数数。
3. 根据欧拉公式，$sin(alpha) = sqrt{1 cos^2(alpha)} = sqrt{1 alpha^2}$。
4. 如果 $alpha$ 是代数数，那么 $alpha^2$ 也是代数数。而 $sqrt{1 alpha^2}$ 也因为代数数在开方运算下封闭而是一个代数数。
5. 所以，如果 $alpha$ 是代数数，那么 $cos(alpha)$ 和 $sin(alpha)$ 都将是代数数。
6. 此时，我们可以考虑 $e^{ialpha} = alpha + i sqrt{1alpha^2}$。
7. 由于 $alpha$ 是代数数，而 $sqrt{1alpha^2}$ 也是代数数，它们的复数组合 $alpha + i sqrt{1alpha^2}$ 依然是一个代数数。
8. 这意味着 $e^{ialpha}$ 是一个代数数。
然而，林德曼维尔斯特拉斯定理（或者更准确地说，它的一个重要推论）指出：如果 $eta$ 是一个非零代数数，那么 $e^eta$ 是超越数。
这里的关键在于，我们的指数是 $ialpha$。我们需要更精细的结果来处理复指数。
一个更直接相关（但依然需要深入证明）的定理是：
"如果 $alpha$ 是一个非零代数数，那么 $cos(alpha)$ 是超越数。" （这个结论源于 LindemannWeierstrass Theorem，但需要一些额外的步骤来处理三角函数。）
如果这个定理成立，那么我们就得到了矛盾：
我们假设了 $alpha$ 是代数数。
根据 $cos(x) = x$ 的方程，$cos(alpha) = alpha$。
如果 $alpha$ 是代数数（且非零，我们已经证明了解在 $(0,1)$ 区间，所以是非零的），那么根据上述定理，$cos(alpha)$ 必须是超越数。
但是，我们又从方程得到了 $cos(alpha) = alpha$。这意味着 $alpha$ 既是代数数，又是超越数。这是不可能的。
因此，最初的假设——即 $alpha$ 是代数数——必然是错误的。这意味着 $alpha$ 不是代数数。根据定义，不是代数数的实数就是超越数。
总结
方程 $cos(x) = x$ 有一个唯一的实数解 $alpha$，该解位于 $(0, 1)$ 区间。经过数学家的深入研究，特别是利用了与超越数相关的深刻定理（如林德曼维尔斯特拉斯定理的推论），证明了对于任何非零代数数 $alpha$，$cos(alpha)$ 都是超越数。由于 $cos(alpha) = alpha$，这就意味着 $alpha$ 本身不可能是代数数，因此它必须是超越数。
所以，是的，方程 $cos(x) = x$ 的唯一实数解是一个超越数。这并不是一个容易从基本定义直接推导出来的结果，而是需要依赖于数论中关于超越数理论的成熟成果。
网友意见
谢邀，这个解的名字叫做Dottie Number。这个名字是SAMUEL R. KAPLAN在其文章The Dottie Number（FEBRUARY 2007）取的。
名字来源是，一个法语教授Dottie某天发现无论在计算器上输入哪一个数，然后不停按cos函数那个键，最后都会收敛到同一个值，大约是0.739085。她问了她丈夫为什么会这样。她丈夫是个数学教授，但他在当天没有想到对这个的解释。不过第二天，他就意识到发生了什么，他妻子发现了一个简单的全局吸引子的例子。
相信大家也有这么干过，这个操作等价于求 ，这个序列的极限就是 的解。这个数的前几位小数可以在这里看到A003957 - OEIS。
另外有一点要说明的是，如果用角度制计算的话，那就相当于进行 的迭代，那结果是 0.9998...
The Dottie number was the nickname among my graduate school friends for the unique real root of cos(x) = x. The story goes that Dottie, a professor of French, noticed that whenever she put a number in the calculator and hit the cos button over and over again, the number on the screen always went to the same value, about 0.739085 ... .She asked her math-professor husband why the calculator did this no matter what number she started with. He looked. He tried it. He said he had no idea, at least not that day. The next day he realized not only what was happening, but that his wife had found a beautiful, simple example of a global attractor.
https://www. maa.org/sites/default/f iles/Kaplan2007-131105.pdf
这位同学也发现了相同的事Explaining $cos^infty$。。。
回归正题，这个数是超越数，可以由Lindemann-Weierstrass Theorem证明。下面定理来源Baker, A. Theorem 1.4 in Transcendental Number Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1975.
假如Dottie Number是代数数，这里就记成x好了。那么根据欧拉定理 ，我们有 。那么 就可以变形为 。i是 的根，显然是代数数。代数数的乘积是代数数，所以 都是代数数。
那么取代数数 , ,注意到x不可能是0， 所以这3个 是不同的数。同时我们有等式 ，这与Lindemann-Weierstrass Theorem矛盾，定理说明这样的等式不可能为0。所以x不是代数数，证毕。
另外，若设 ，那么 ， 就变成了 ，即 , 这个就是Kepler's equation。而Kepler's equation有着丰富的研究结论。这里What is the solution of cos(x)=x?，giorgiomugnaini给出了Dottie Number的一个级数表达。
在Explaining $cos^infty$中 Anixx给出了一个积分表达，
这个结果可以在这里找到On an integral representation of a class of Kapteyn (Fourier–Bessel) series: Kepler’s equation, radiation problems and Meissel’s expansion。
that's all, thank you.
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