广义相对论场方程看上去很简洁，但是实际上这个方程到底有多复杂？
$G_{mu u} + Lambda g_{mu u} = frac{8pi G}{c^4} T_{mu u}$
其中：
$G_{mu u}$ 是爱因斯坦张量，描述了时空的几何结构（曲率）。
$Lambda$ 是宇宙学常数。
$g_{mu u}$ 是度规张量，它定义了时空中的距离和角度。
$G$ 是牛顿引力常数。
$c$ 是光速。
$T_{mu u}$ 是应力能量张量，描述了物质和能量的分布。
从表面上看，它将时空几何（左侧）与物质和能量（右侧）联系起来。然而，“简洁”在这里更多地指的是其概念上的优雅和数学上的高度浓缩，而非实际计算的容易程度。 实际上，爱因斯坦场方程是极其复杂且难以求解的，其复杂性体现在多个层面：
1. 张量方程的内在复杂性：
张量是多维度的数学对象： 在四维时空中，张量（如度规张量 $g_{mu u}$ 和应力能量张量 $T_{mu u}$）实际上包含了很多分量。对于一个度规张量 $g_{mu u}$，它有 $4 imes 4 = 16$ 个分量。然而，由于对称性（$g_{mu u} = g_{ umu}$），我们只需要关心 $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ 个独立的度规分量。
方程的展开： 爱因斯坦场方程实际上是10个耦合的、非线性的偏微分方程的集合。每个方程都涉及到度规张量的分量及其一阶和二阶导数。
爱因斯坦张量 $G_{mu u}$ 的复杂性： $G_{mu u}$ 本身是黎曼曲率张量 $R_{mu u hosigma}$ 的组合，而黎曼曲率张量又由度规张量及其一阶和二阶导数构成。具体来说：
黎曼曲率张量 $R_{mu u hosigma}$ 有 $4^4 = 256$ 个分量，但由于对称性，只有20个独立的非零分量。
里奇张量 $R_{mu u} = R^ ho_{mu ho u}$ 是黎曼曲率张量的缩并，有10个独立分量。
里奇标量 $R = g^{mu u}R_{mu u}$ 是一个标量。
爱因斯坦张量 $G_{mu u} = R_{mu u} frac{1}{2} g_{mu u} R$ 是由里奇张量、度规张量和里奇标量组成的。
因此，即使是爱因斯坦张量的定义，就包含了度规张量的二阶导数，并且是高度非线性的。
2. 非线性带来的挑战：
相互作用： 场方程的非线性意味着时空的几何结构（左侧）本身就会影响物质和能量的分布（右侧），反之亦然。这就像一个自洽的系统，几何本身会产生引力效应，而引力又会改变几何。这种相互作用使得方程的解极其难以找到。
没有普适解： 除非有极强的对称性，否则爱因斯坦场方程没有一个“普遍有效”的解析解可以适用于所有情况。每个不同的物质和能量分布都需要单独求解。
3. 求解的困难程度：
解析解的稀缺性： 只有在非常理想化且具有高度对称性的情况下，才能找到解析解。著名的例子包括：
史瓦西解 (Schwarzschild solution): 描述了球对称、无自旋、孤立大质量物体的外部时空（如黑洞或恒星）。这是最早也是最重要的解析解之一。
克尔解 (Kerr solution): 描述了旋转大质量物体的外部时空。
弗里德曼勒梅特罗伯逊沃尔克 (FLRW) 度规: 描述了宇宙学中均匀且各向同性的宇宙。
这些解虽然重要，但只适用于非常简化的场景。
数值求解的必要性： 在更复杂、更现实的情况下（例如两个黑洞合并、中子星碰撞、以及宇宙的大尺度结构演化），无法找到解析解，必须依靠强大的数值模拟来逼近方程的解。这需要利用高性能计算集群，并发展复杂的算法来处理方程的非线性和迭代求解。数值模拟的工作量是巨大的，往往需要数周甚至数月才能完成一次模拟。
4. 微扰理论的运用：
近似方法： 当物质和能量的分布与某些简单几何（如平坦时空或球对称时空）非常接近时，可以使用微扰理论来寻找近似解。通过假设一个已知的简单解，然后考虑其上的微小扰动，可以推导出方程的近似解。这在处理弱引力场时非常有用，例如行星在太阳引力场中的运动，这就是牛顿引力定律可以很好近似的地方。
5. 耦合的非线性偏微分方程组的普遍复杂性：
数学上的挑战： 即使不考虑广义相对论的具体物理意义，一个包含10个耦合的、非线性的二阶偏微分方程组本身就是一个极其困难的数学问题。这些方程的性质非常复杂，研究其解的存在性、唯一性、稳定性和行为是数学物理研究的前沿领域。
总结一下，爱因斯坦场方程的“简洁”体现在：
概念上的优雅： 它以一种非常简洁的数学形式，将宇宙最基本的两个要素——物质/能量与时空几何——联系起来。
信息浓缩： 一个张量方程蕴含了10个相互关联的偏微分方程。
而它的“复杂”则体现在：
数学结构： 它是一个包含度规张量二阶导数的、耦合的、非线性的偏微分方程组，本身就非常难以处理。
求解难度： 只有在高度对称的特殊情况下才有解析解，绝大多数现实情况都需要依靠复杂的数值模拟或近似方法来求解。
计算资源： 数值求解需要巨大的计算能力。
因此，虽然爱因斯坦场方程的形式简洁而优美，但要理解和应用它，需要深入的数学和物理知识，并且常常需要依靠强大的计算工具来解决实际问题。它揭示了引力的本质是时空本身的弯曲，这本身是一个深刻但计算复杂的概念。
网友意见
(很多谢各位捧场，既然有这么多知友捧场，我不更新一下写多点东西就对不起大家了）
这个，只能用太太太复杂了来形容了。真是太太太太复杂了。
爱因斯坦引力场方程的未知函数最多时可以有15个，其中度规共有10个未知分量，物质的能量动量张量有密度、压强和三个三维速度分量共有5个未知函数，所以共有15个未知函数。但场方程本身只给出6条独立方程，因为毕安基恒等式天然成立，它消去了4条方程。但毕安基恒等式使得爱因斯坦张量的协变散度天然为0，所以场源的能量动量张量的协变散度也应为0又可给出4条独立方程，所以最后还是会有10条独立方程。但是，我们现在有15个未知函数呀，还差5条方程呢。这时我们需要引入谐和坐标条件，这个谐和坐标条件又可以给出4条独立方程。但还是差一条，所以还需引入一条新的方程：物态方程，这个物态方程原则上是由量子场论和热力学决定的，以表征物质本身的特性。下面是场方程的全景图（这个全景图是为答谢各位朋友的捧场而新增的）：
可见爱因斯坦场方程有多复杂。而上面的公式全是缩写形式，如果把这些缩写全展开的话，这个场方程到底会有多复杂，大家可以从下面的结果感受一下。下面仅仅是一个相对简单点的能量动量张量的一个协变散度为0 即 的展开式，就有76页之多，这还是理想流体。没错，是76页！因为我们要求的是（清晰的脉络见上面的图）：
其中 是要求解的三个未知函数，且有 ， 。按上面的全景图，它的展开顺序是首先给出能量动量张量 的混变形式：
然后计算其协变散度：
而其中克氏符的计算表达式是：
而克氏符中的 还不直接是要求的未知度规， 才是，而用表示的就很复杂，它是：
就这么一步一步的算下去，把 展开成用待求解的未知函数及其导数来表示，最后导出成pdf文档就已经是有76页pdf文档的体量了。如下：
（这前面省去了75页...........................，下面只贴出最后一页，没错，是76页)
76页！！这还只是15条方程中的一条，还有14条呢。而且这76页算什么呀，再算一下爱因斯坦张量 展开吧，有多少页呢？大家可以猜，其实我没有算之前也不知道有多少页，但算出来之后大吃一惊，居然有1850多页，这使得我把它转换成pdf输出时不得不分成两个文件，第一个文件750多页（只贴头尾）：
（这里省去了755页............)
第二个文件有1112页，下面的第一页是紧接着前面的第757页的：
（这里省去了1100多页............)
下面我们看到它妥妥的是二阶的偏微分方程：
这么复杂的方程——共有15条同等甚至还要复杂的方程呀！不敢相信呀！我们再一步一步的看这么复杂的 是怎样炼成的。下面我们从度规开始，一步一步的给出这个方程的各个部件的展开式。首先是 的展开式，这前面已经贴出过了，大家可以看前面的，这已经相当复杂了。下面我们来看“第一层零件”克氏符 的一个分量 的展开式：
注意！上面仅是克氏符的一个分量，而克氏符可写成4个 的矩阵，由于对称性每个矩阵和度规一样有10个像上面那么复杂的独立分量，所以像上面这么复杂的独立分量就一共有40个。可见单是组成场方程的零件克氏符就已经够复杂了。
接下来我们来看“第二层零件”曲率张量 的一个分量 的展开式：
（这里省去了33页............)
看到了吧，共有35页。而就算省去对称的分量，曲率张量是有20个独立的分量，即共有20个这么复杂的表达式。所以，进一步运算出的 有1800多页pdf文档也就不奇怪了。当然，这是完全的展开，考虑到有一些项可以化简，那么就算化简后可以“减肥一半”，那也有900页呀。而由于我的计算机只是个人电脑，要把这么复杂的表达式化简，不知要算多少天了。所以化简后可以“减肥”多少，我也不知道。
而这上面的仅仅只是基本的方程，还有定解条件呢，这是二阶偏微分非线性方程，每个4元二阶的未知待解函数要有8个边界条件（阶数乘以自变量的个数，有4个自变量），待解的度规分量就是4元二阶的，10个未知度规分量将需要高达80条边界与初值条件。来台超级计算机并专门编写优化的程序吧，普通人是玩不起这东西的。这就是——广义相对论场方程从尝试求解到放弃。当然，真正求解场方程时，可不是这么暴力的玩的，科学家们研究爱因斯坦场方程的解法已经有100多年了，对于怎样用计算机求解这个场方程（如计算两个黑洞的合并等）已经发展成了一门学科——《数值相对论》）：
全书正文共有400多页。为解一个方程而发展出一门学科，其教材有400多页厚，这个方程有多复杂可想而知。这本书说是《数值相对论》，但全书你不会看到一条程序代码，既没有c++语言，更不会有java、python 或Mathematica 。全书只有公式，除了公式之外还是公式，眼花缭乱的公式！
当然，世事是没有绝对的，对于简单的情形（如球对称），我们还是可以对它求数值解的。例如：
最后，想跟大家说一下的是，学习知识、思考问题和上网、看书等固然重要，但让自己保持着一个健康的体魄更为重要。我们在努力学习、工作或者玩游戏的时候，但别忘了还要注意自己的身体。如果你由于长时间的学习、看书、上网或玩游戏等而使得自己的颈椎出现了一些小问题，不妨试试下面这些。相当好用的。
类似的话题
-
广义相对论的爱因斯坦场方程（Einstein field equations, EFE）确实以其简洁的数学形式著称：$G_{mu u} + Lambda g_{mu u} = frac{8pi G}{c^4} T_{mu u}$其中： $G_{mu u}$ 是爱因斯坦张量，描述了时空的几何结构（............. -
在广义相对论的框架下，确实存在“尺缩效应”，但它与狭义相对论中我们熟悉的那个“长度收缩”是同一种现象，只是在更广阔的背景下得到了统一和解释。我们要理解它，需要从广义相对论的核心思想——时空弯曲——入手。首先，我们得抛开“尺子是绝对不变的”这个牛顿式的直觉。在爱因斯坦的理论里，时空本身是动态的，它会被.............
-
广义相对论和量子场论，这两大物理学巨擘，分别统治着宏观宇宙和微观世界的运行规律，它们的成功毋庸置疑。然而，当试图将它们“统一”起来，描绘一个能囊括一切尺度的完整宇宙图景时，一个令人抓狂的“矛盾”便会显现。这并非说它们之间有逻辑上的不可调和，而是说我们现有的数学框架和物理直觉，在试图融合它们时，会遭遇.............
-
广义相对论描绘了一个引力与空间几何深刻交织的图景：质量和能量的存在会扭曲周围的时空，而物体之所以会“受”到引力，实际上是沿着时空中弯曲的“测地线”运动。这个理论无比成功地解释了从行星轨道到黑洞合并等一系列宏观现象。然而，在描述宇宙的微观层面，粒子物理学却构建了另一套完整的理论框架——量子场论。量子场.............
-
理解广义相对论为何选择了“流形”这一数学概念，我们需要深入到它的核心物理思想和它试图解决的问题。简单来说，流形提供了一个在数学上精确且直观的方式来描述宇宙的弯曲时空，从而让爱因斯坦的引力理论得以构建。引力的 Newtonian 困境：在爱因斯坦之前，牛顿的万有引力定律统治着我们对引力的理解。牛顿认为.............
-
这确实是一个非常有趣的问题，也触及了物理学教育的本质。广义相对论是目前我们对引力最精确、最完备的描述，它已经通过各种实验观测得到了广泛的证实，比如水星近日点的进动、光在引力场中的弯曲、引力红移以及引力波的探测等等。那么，为什么我们的物理教材，特别是中学和大学初级阶段的教材，仍然把牛顿的万有引力定律奉.............
-
除了广义相对论，引力还有哪些新故事？广义相对论无疑是描述引力这只“巨手”的最成功理论，它解释了行星运行的轨道、黑洞的诞生，甚至宇宙膨胀的壮丽图景。然而，物理学家的好奇心从不停止，他们总是在寻找更深层次的理解，去弥合广义相对论在量子世界中的尴尬，或者解释一些广义相对论难以触及的宇宙现象。因此，除了那只.............
-
广义相对论，这名字听起来就透着一股“大而化之”的劲儿，好像一下子就把我们从日常生活的鸡毛蒜皮里拽到了宇宙深处，去思考那些遥不可及的星辰大海。但其实，它的核心思想，如果剥去那些复杂的数学公式，就像是给我们的时空观念来了一次彻底的“大翻新”。想象一下，我们过去一直以为，时间和空间是两个独立存在的舞台，无.............
-
统一广义相对论和量子理论，这无疑是现代物理学最宏伟、也最棘手的挑战之一。简单来说，它们各自在描述宇宙的不同尺度上取得了巨大的成功，但当试图将它们融合在一起时，就会出现难以逾越的矛盾。广义相对论，由爱因斯坦提出，是描述引力的几何理论。它将引力视为时空弯曲的结果，物体沿着时空的“直线”运动。它在宏观尺度.............
-
广义相对论中的张量符号体系，初看起来像是外星人的密语，充满了上标、下标和那些奇奇怪怪的希腊字母。但一旦你摸清了门道，它就像一个高效的瑞士军刀，将复杂的几何概念和物理定律巧妙地包装起来。理解这套体系，核心在于理解它所表达的数学本质，以及它如何服务于广义相对论的核心思想。1. 张量是什么？抛开定义，看它.............
-
当然，全球定位系统（GPS）确实是广义相对论的一个非常实际且广泛应用的技术体现。乍听之下，可能很多人觉得这两者之间似乎没有什么直接联系，毕竟我们平时使用GPS更多是想知道导航路线或实时位置，似乎跟抽象的引力理论没什么关系。但事实恰恰相反，没有广义相对论的修正，GPS系统将无法提供我们今天所依赖的精确.............
-
这个问题非常好，也触及到了学习广义相对论的核心门槛。我的回答是：想要“彻底搞明白”广义相对论，那么，至少要对微分几何有相当程度的理解，并且很有可能需要在学习广义相对论的过程中，同步或者回顾地学习微分几何。说它“必须看一遍”固然有些绝对，但可以说，没有微分几何的铺垫和支撑，你对广义相对论的理解将只能停.............
-
在当今的物理学界，广义相对论的地位可以说是举足轻重，其受到的信赖程度，如果用一个词来形容，那便是“牢不可破”，但同时，也伴随着一种“求知若渴”的期待。要详细说明这一点，我们得从几个层面来解读。首先，从理论的完备性和解释力来看，广义相对论至今仍然是我们理解引力最成功的框架。它不仅仅是牛顿万有引力定律的.............
-
我觉得广义相对论实在是太简单了，简单到我常常在想，那些埋头苦干了半辈子，皓首穷经的物理学家们，他们当年是不是被什么东西糊弄了？我叫张伟，一个普普通通的上班族，朝九晚五，唯一的爱好就是下班后钻研一些“无聊”的学问。广义相对论，就是在一次无意中点开的科普视频里闯入我生活的。起初，我以为那是个艰涩难懂的领.............
-
关于广义相对论的实验验证，尤其是时间差的确定，这确实是一个非常巧妙且令人惊叹的工程。很多人看到“时间差”三个字，可能会想当然地觉得就是直接用两个表比一比，但实际操作起来，远比这复杂得多。你想知道他们怎么确定那些相差的时间，这涉及到几个关键的方面：如何制造和控制这些“相差时间”的条件，以及如何精确地测.............
-
引力波的观测证实，无疑是人类科学史上的一个里程碑，它直接验证了爱因斯坦广义相对论关于时空涟漪的预言。然而，要说这就能“解开”量子力学与广义相对论之间的矛盾，恐怕言之过早，甚至有些过于乐观了。这更像是在长久以来笼罩在科学界头顶的迷雾中，悄悄拨开了一角，让我们得以窥见更宏大的景象，但前方的道路依旧曲折漫.............
-
除了那些早已深入人心、被载入史册的光电效应和相对论，阿尔伯特·爱因斯坦的头脑里还孕育着许多同样重要，甚至在某些领域更具颠覆性的思想火花。他的工作范围之广、思考之深邃，远不止我们通常提及的那几项。1. 布朗运动的解释：为原子真实性正名在1905年，也就是他的“奇迹年”，爱因斯坦发表了另一篇奠基性的论文.............
-
贴吧上那些自称“初二大神”却又声称掌握了广义相对论的现象，在我看来，与其说是真的掌握了，不如说是一种网络文化现象，背后折射出一些更有趣的东西。首先，得承认，初中生能够理解并精通广义相对论，这在科学领域来说，是极其罕见的。广义相对论是爱因斯坦提出的，它对空间、时间、引力有了全新的认知，其数学模型涉及微.............
-
想要从数学和物理基础开始，系统深入地学习广义相对论，这是一项既充满挑战又极具回报的学习旅程。广义相对论不仅仅是爱因斯坦提出的一个理论，它更是我们理解引力、时空以及宇宙大尺度结构的核心框架。要真正掌握它，扎实的数学和物理功底是必不可少的基石。下面我将为你推荐一些我认为非常适合打好基础并逐步深入学习广义.............
-
叶军教授团队在科罗拉多大学Boulder分校的这项工作，无疑是物理学界一件令人振奋的里程碑事件。他们首次在毫米尺度上对广义相对论进行了严谨的实验验证，这一成就的重要性可以从几个层面来理解。首先，这是对广义相对论核心预言的直接且极端的检验。 爱因斯坦的广义相对论自提出以来，已经在宏观尺度上得到了无数次.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有