怎样理解广义相对论中的张量有关的这套符号体系？
1. 张量是什么？抛开定义，看它能做什么。
在进入符号之前，我们得明白张量在广义相对论里扮演的角色。简单来说，张量是用来描述“多维度关系”的数学工具。在牛顿力学里，我们用向量（比如速度、力）来描述一维或二维方向上的量。但时空，在广义相对论看来，是一个弯曲的四维连续体，仅仅用向量是不够的。
想象一下，你在地球上丢下一颗石子。它的运动轨迹受到地球引力的影响，这是一个“场”的概念。而引力本身，在广义相对论里，不再是一种力，而是由物质和能量造成的时空弯曲的体现。张量就是我们描述这种时空弯曲的语言。
标量（Scalar）: 这是最简单的张量，只有一个数值，不随坐标系变化而变化。比如温度，无论你在哪里测量，温度本身的值是客观的。
向量（Vector）: 有数值和方向。比如速度，它不仅告诉你“有多快”，还告诉你“往哪儿去”。向量是张量的一种，被称为“秩为1的协变张量”或“秩为1的逆变张量”，我们后面会讲到这些“秩”和“协变/逆变”。
张量: 比向量更复杂。它们描述了向量之间、向量与更高阶张量之间、或者张量自身之间的关系，并且这些关系不依赖于你选择如何观察这个时空（即不依赖于坐标系的选取）。比如，描述时空曲率的黎曼曲率张量，它告诉你时空在不同方向上的弯曲程度是如何相互关联的。
2. 下标和上标的秘密：协变与逆变
这可能是初学者最头疼的地方。为什么有时候是 $v_i$，有时候是 $v^i$？这两个看似微小的区别，却蕴含着深刻的几何意义。它们描述了张量在坐标变换下的“行为模式”。
想象一下，你在画纸上画一个点，用 $(x, y)$ 来表示。现在，你决定把纸旋转一下。原来的 $(x, y)$ 在新的坐标系下会变成新的 $(x', y')$。
逆变张量（Contravariant Tensor）: 当你变换坐标系时，它的分量会以“相反”的方式变化。例如，位移向量 $Delta x$ 就是一个逆变张量。如果你拉伸了坐标轴，位移的数值会变小以补偿。向量的“方向”信息，就是通过这种逆变分量来体现的。记作 $v^i$。
协变张量（Covariant Tensor）: 当你变换坐标系时，它的分量会以“相同”的方式变化。例如，梯度（导数）就是一种协变张量。如果你拉伸了坐标轴，导数的数值会变大，以保持它描述的“斜率”信息不变。记作 $v_i$。
为什么需要这种区分？因为时空是弯曲的，不是平坦的欧几里得空间。在弯曲空间中，我们选择的坐标系（比如经纬度表示地球表面）会影响我们测量到的物理量的分量。协变和逆变分量的引入，使得物理定律（用张量表示）在任何坐标系下都能保持形式上的不变，也就是所谓的“协变原理”。
3. 爱因斯坦求和约定：简化符号的魔术
这个约定是让张量符号体系看起来如此简洁的关键。
规则： 如果一个指标（下标或上标）在同一个项中出现了一次在上标，一次在下标，那么就意味着对该指标的所有可能值进行求和，而无需显式写出求和符号 $sum$。
例如：
我们知道向量的点积 $a cdot b = sum_i a_i b_i$。在爱因斯坦求和约定下，就直接写成 $a_i b^i$ (假设 $a$ 是协变向量，$b$ 是逆变向量，或者都是协变/逆变但我们在这里为了举例简单化一下，实际中点积是 $a_i b^i$ 或 $a^i b_i$)。
矩阵乘法 $C_{ij} = sum_k A_{ik} B_{kj}$ 变成 $C_{ij} = A_{ik} B^k_j$ (这里引入了张量乘法和指标的移动)。
这个约定极大地减少了不必要的求和符号，让公式更加紧凑。
4. 张量的类型和秩：层层递进的描述能力
我们已经提到了秩（rank）。秩是一个张量有多少个指标来描述其分量。
秩为0的张量是标量。
秩为1的张量是向量（有方向和大小）。
秩为2的张量可以看作是一个“矩阵”，它描述了向量和向量之间的关系，或者如何将一个向量映射到另一个向量。例如，度规张量 $g_{mu u}$ 就是一个秩为2的协变张量，它告诉我们如何测量时空中的距离和角度。
秩更高的张量则描述了更复杂的关系。
秩和协变/逆变结合起来描述了张量的“阶”或“型”。
秩为(p, q)的张量: 拥有 p 个上标（逆变指标）和 q 个下标（协变指标）。
例如，度规张量 $g_{mu u}$ 是一个秩为(0, 2)的张量（两个下标）。
向量 $v^i$ 是一个秩为(1, 0)的张量（一个上标）。
向量 $v_i$ 是一个秩为(0, 1)的张量（一个下标）。
黎曼曲率张量 $R^{ ho}_{sigmamu u}$ 是一个秩为(1, 3)的张量（一个上标，三个下标），它描述了时空的弯曲程度。
5. 指标的上下移动：度规张量是桥梁
度规张量 $g_{mu u}$ 和它的逆 $g^{mu u}$ 在张量体系中扮演着至关重要的角色。它们就像一个“翻译器”，可以将协变指标和逆变指标互相转换。
将一个协变向量 $v_i$ 变成逆变向量 $v^j$： $v^j = g^{ji} v_i$
将一个逆变向量 $v^i$ 变成协变向量 $v_j$： $v_j = g_{ji} v^i$
这个操作被称为“指标的升降”。通过度规张量，我们可以将一个张量不同类型的指标进行匹配，以便应用求和约定或者进行物理定律的推导。
6. 张量运算：符号体系的“动词”
理解了张量的结构和指标的意义，我们就可以开始进行张量运算了：
张量加减法: 只允许相同阶数和相同指标类型的张量之间进行。例如，秩为(1, 0)的张量才能相加。
张量乘法（外积）: 将两个张量的所有指标组合起来，得到一个更高阶的张量。例如，一个秩为(1, 0)的张量 $A^i$ 和一个秩为(0, 1)的张量 $B_j$ 相乘，得到一个秩为(1, 1)的张量 $C^i_j = A^i B_j$。
张量缩并（Contraction）: 这是应用求和约定的核心。选取一个上标和一个下标，然后对它们进行求和，从而降低张量的阶数。例如，对秩为(1, 1)的张量 $T^i_j$，进行缩并（比如令 $i=j$）得到一个标量 $S = T^i_i = sum_i T^i_i$。度规张量 $g_{mu u}$ 的缩并结果是一个常数，称为时空维度 $n$（例如，四维时空中是4）。
协变导数: 在平坦空间中，我们直接用偏导数 $frac{partial}{partial x^mu}$。但在弯曲时空中，我们需要考虑坐标系的变化带来的影响，这就引入了“联络”（Connection），最常用的是克里斯托费尔符号 $Gamma^{lambda}_{mu u}$。协变导数是对普通偏导数进行修正，以确保它在弯曲时空中也能正确地表示物理量的变化率。一个逆变向量的协变导数是：
$ abla_ u v^mu = frac{partial v^mu}{partial x^ u} + Gamma^{mu}_{sigma u} v^sigma$
一个协变向量的协变导数是：
$ abla_ u v_mu = frac{partial v_mu}{partial x^ u} Gamma^{sigma}_{mu u} v_sigma$
注意到 $Gamma$ 的指标位置变化是关键，它确保了最终结果仍然是张量。
7. 广义相对论中的核心张量和方程
理解了以上基础，我们就能更好地理解广义相对论中的核心方程了：
度规张量 $g_{mu u}$: 它定义了时空的几何性质，即距离和角度。爱因斯坦的引力场方程直接关系到度规张量的性质。
黎曼曲率张量 $R^{ ho}_{sigmamu u}$: 它量化了时空的弯曲程度。它的出现是时空“不是平坦的”的直接证据。
里奇张量 $R_{mu u}$: 是黎曼曲率张量的缩并结果，它包含了曲率的主要信息。
里奇标量 $R$: 是里奇张量的缩并结果，是时空曲率的一个整体度量。
爱因斯坦张量 $G_{mu u} = R_{mu u} frac{1}{2} g_{mu u} R$: 它反映了时空的几何。
应力能量张量 $T_{mu u}$: 它描述了物质和能量的分布。
爱因斯坦引力场方程：
$G_{mu u} = frac{8pi G}{c^4} T_{mu u}$
这个方程用张量语言表达了：时空的几何（左边）是由物质和能量的分布（右边）决定的。
这里的每一个字母，每一次上下标的组合，都代表着特定的数学含义和物理意义。它们共同构建了一个描述引力和时空相互作用的强大数学框架。
如何更好地理解和掌握？
1. 从二维开始: 先从二维欧几里得空间中的向量、坐标变换开始理解协变和逆变，再逐步扩展到四维时空。
2. 多做练习: 阅读理论书籍时，尝试自己推导一些简单的张量运算，例如度规张量的逆，或者计算一个向量的协变导数。
3. 关注物理意义: 不要仅仅把它当作一套符号规则，要时刻思考每个张量、每个公式在物理上代表什么。度规张量如何测量距离？曲率张量如何描述“被拉伸”的时空？
4. 可视化: 尽管张量是抽象的，但尝试用几何图像去理解它们。例如，曲率张量可以被看作是平行移动一个向量后，向量如何“变质”。
这套符号体系虽然一开始显得复杂，但它精准、高效，并且具有普适性。一旦你掌握了它，你就能以一种前所未有的方式来理解引力现象，以及宇宙的宏大结构。它不是故弄玄虚，而是对物理现实最深刻、最简洁的数学描述。
网友意见
作为一个数学专业的，相对论我是不懂的，但是我可以用更简单的知识(线性代数)说明白什么是张量，为什么它非常重要，以及在几何学中的应用。
先从向量开始，向量和线性空间的引入对于数学和物理来说都是意义深远的。首先设 是n维实向量空间， 是一个向量，再设 是一组基底，那么可以假设 ，这里 都是实数，但有一点值得注意，向量 并不是非要用给定的基底 和一组数 去描述，如果没有给定基底，或者给定了两组基底，我们怎么去描述这个向量呢，后面这个问题是容易回答的，假设 还有一组基底 且 ，设在新基底下 (这里和后面都默认使用Einstein求和约定，只是为了记号的简便)，那么 ，从而 ，写成矩阵的形式就是 。这说明对于线性空间 的向量 ，在不同基底下的系数是有固定的变换规律的，我们称之为反协变的。
现在来研究 上的线性函数，它们的全体记为 ，先定义 使得 ，再定义 ，那么 称之为 的对偶基.并且和上面类似，对任意 ，都可以写成 的线性组合，即 其中 .自然也要考虑坐标变换问题，设 是 的对偶基，再设 ，那么 ，从而我们得到了线性函数的系数变化规律 ，这和 中的向量的系数的变化规律显然是不同的，我们称之为协变的。
上述 虽然在给定了基底的情况下可以看成 中的一个点，但是当基底变化，这种"看成"也会有相应的变化，所以两者本质上是不一样的，对于线性代数的初学者来说，常常不会在意这种细微的差别，而张量的概念就来自于这种差别，上述 中的元都是最简单的张量，但是形如 的n元实数组却不是一个张量，因为它不具有上述变化规律而仅仅代表n个实数。
为什么要引入张量的概念呢，因为我们要定义一种不依赖于坐标的量，这样在进行坐标变换的时候这种量就不会发生变化，或者说这种量本身完全不依赖于坐标(基底)，而引入基底只是为了计算它。
但是还有很多重要的张量，比如线性代数中所说的二次型，即 上的双线性函数，它们的全体记为 ,显然这是一个实线性空间，引入什么基底才能描述它呢，这就涉及到数学中一个非常重要的概念:张量积。这个概念在线性代数中的定义其实很简单，即对于两个 上的线性函数 定义他们的张量积 为 那么容易看出 ，还有
定理 是 的一组基底
这是因为任何 ，都可以写成 ，其中 仿照上述 的系数变化规律，不难发现如果 ，那么 ，这和 中的元的系数的变化规律有相似也有不同，数学上称之为2阶协变的。类似地，读者可以考虑 中的元，把 中的向量看成 的线性函数，类似地定义两个向量的张量积，用上述方法证明如下定理
定理 是 中的一组基底，设 ，那么 ，称这样的系数变化规律是2阶反协变的。
综合上述结论，我们可以定义一般的张量了，设 （k个相乘）， （l个相乘），那么 (即全体 上的多重线性函数)的向量称为(l,k)阶张量，这个线性空间有基底 其中的元的系数变化规律读者可类似去计算，应当是l个反协变和k个协变的。并且我们容易从指标的位置看出系数是怎么变换的。
为什么要定义一般张量呢，从线性代数的角度，这是研究多重线性函数的基础工具，并且行列式，迹等常见的线性代数的概念都可以用张量的语言来描述；从几何学的角度，微分几何中最基础的概念如度量，曲率等都要用张量描述。
要把张量的概念用到几何学中，出发点应该是向量场，向量场通俗地说是在空间中的每一点给一个向量，且不同点的向量总认为是不一样的。考虑欧式空间 的光滑向量场 ，首先设 是坐标系，则可以记 其中每个 ，模仿向量的写法，可以写成 ，这里 可以理解成沿坐标轴 正方向的单位向量(更严谨的定义见[1])。如果有新坐标 ，坐标变换 都是光滑函数，则有如下基变换 (见[1])，设变换矩阵 ，再设 则 。从这里我们就可看出张量记号的优越性，首先是无歧义，如果把向量场单纯地理解成n个 上的光滑函数 ，则问题在于在每点 如何理解 ，没有说清楚基底的情况下这就不是一个向量，而张量记号则准确无误地表明了基底是什么，在坐标变换的角度上张量记号也更方便记忆和书写。
向量场和向量是有很大区别的，向量场是可以求导的，因为它有光滑性的概念，它的研究也超越了线性代数的范畴。
现在引入微分流形的概念如下(见[1][2])
微分流形 上的向量场定义要稍复杂一些，因为微分流形只有局部坐标，这是为了描述复杂的空间而不得不采取的方法，比如球面 就没有整体定义的坐标函数(需要拓扑知识去证明)。对于微分流形 ，其上的(光滑)向量场 也要先局部定义，任意坐标卡 ，设 (严格定义见[1][2])，其中 ，如果 ，则要求在其上成立 .这其实就是不同坐标下的向量的系数的变换规律。
接下来是黎曼几何最核心的概念，Riemann度量，如果模仿欧式空间对于流形 上的两个向量场 ，在每点 附近取定坐标卡 ，使得 ，定义内积 ，那么如果换了一个 附近的坐标 ，则有 这说明不能照搬欧式度量到一般的流形上，所以要采用张量的语言去定义Riemann度量。先假设基底 的对偶基(逐点去考虑)为 。则可以定义 上的(0,2)型光滑张量场 如下：在局部(每个坐标卡上)，设 ,其中 且是 上的光滑函数.若 ，还要求 于其上成立(在每一点这正是2阶协变张量的变化规律)。则对于两个向量场 ，有 。如果该张量场还满足如下两条:
1、对称性，即对于两个流形上的向量场 有
2、正定性，对于向量场 , 在 上每一点 的值都大于等于0，当且仅当 时
则称 是流形 上的一个Riemann度量，在每点它都是一个2阶协变张量。每个流形都有黎曼度量，见[2].如果不假设2、成立而替换为如下条件
3、二次型 在每点的正惯性指数为n-1，负惯性指数为1
则称满足1、3、的 为Lorentz度规。
类似地读者可以定义流形上的(k,l)阶张量场，这里简单提一下(见[2])反对称的l阶协变张量场叫作l阶微分形式，在数学上，研究它们可以得到该流形的拓扑信息。
当然求导的方法也能用到张量场的研究上，在微分几何中被叫做联络，见[2]。
当然，想要说清楚广义相对论的基本假设，如上知识是不够的，读者还需要知道联络和配备了度量的流形的测地线概念。见[1][2]
参考文献
[1]梁灿彬.周彬. 微分几何入门与广义相对论
[2]陈省身.陈维桓. 微分几何讲义
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