广义相对论为何选择了流形？
理解广义相对论为何选择了“流形”这一数学概念，我们需要深入到它的核心物理思想和它试图解决的问题。简单来说，流形提供了一个在数学上精确且直观的方式来描述宇宙的弯曲时空，从而让爱因斯坦的引力理论得以构建。
引力的 Newtonian 困境：
在爱因斯坦之前，牛顿的万有引力定律统治着我们对引力的理解。牛顿认为引力是一种瞬时作用的力，两个有质量的物体之间存在一种“超距作用”，无论它们相距多远，引力都能立即传递。然而，这种观点在物理学上存在一些根本性的难题：
1. 瞬时作用 vs. 光速限制： 狭义相对论已经证明，任何信息（包括引力作用）的传递速度都不能超过光速。牛顿的瞬时作用与此直接冲突。如果太阳突然消失，地球将瞬间感受到引力变化，这在相对论框架下是不可能的。
2. 引力的本质： 牛顿定律描述了引力的“是什么”（即引力的数学形式），但没有解释引力“为什么”存在，它的物理本质是什么。引力似乎凭空存在，作用于所有有质量的物体。
3. 运动的参考系： 牛顿的理论是在一个绝对的、平直的空间和均匀流逝的时间框架下建立的。然而，当我们将引力效应考虑进去时，会发现“惯性参考系”（即不受外力作用、匀速直线运动的参考系）的概念变得模糊。例如，一个自由落体中的宇航员，他感觉自己处于一种“无重力”状态，尽管地球的引力作用在他身上。
爱因斯坦的革命性思想：等效原理
爱因斯坦在构建广义相对论时，从一个革命性的物理原理出发——等效原理（Equivalence Principle）。这个原理可以粗略地表述为：
引力等效于加速度： 在局部范围内，引力效应与加速度效应是无法区分的。
想象一下，你身处一个封闭的电梯里。如果电梯静止在地球上，你会感受到向下的引力。但如果电梯在无引力的太空中以 $9.8 m/s^2$ 的加速度向上加速，你也会感受到一个同样大小的向下“推”力，仿佛你被压在了电梯底部。这两个情境在电梯内部的物理体验上是完全一样的。
等效原理的深远意义在于，它将引力从一种“力”的概念，转化为时空几何的弯曲。如果引力可以被加速所模仿，而加速度又与物质的存在有关，那么引力本身就不是一种外加的“力”，而是物质对它周围时空几何性质的改变所产生的表现。
为什么需要“流形”来描述弯曲的时空？
现在我们回过头来，看看为什么“流形”是描述这种弯曲时空的理想工具：
1. 局部平坦性： 宇宙的真实几何可能是弯曲的，但我们在日常生活中的体验，以及我们在相对较小的区域内进行的物理实验，都发现时空近乎平坦，就像我们熟悉的欧几里得几何一样。流形这个数学概念的核心特征就是局部平坦性。这意味着，任何一个足够小的区域，都可以用我们熟悉的欧几里得空间（或者在狭义相对论中是闵可夫斯基时空）来近似描述。就像地球表面看起来是平的，但它实际上是一个球体。在局部，我们可以用平坦的坐标系来描述。
2. 全局弯曲的描述： 虽然局部是平坦的，但不同局部之间的连接方式，以及全局的几何性质，却是可以弯曲的。流形提供了一种数学框架，可以“粘合”这些局部的平坦片，形成一个在整体上可能是弯曲的、但处处都“光滑”的整体。
坐标系： 在一个流形上，我们可以定义多个局部坐标系。在每个局部区域，坐标系都像我们熟悉的笛卡尔坐标系一样工作。
过渡映射： 关键在于，这些局部坐标系之间可以通过“过渡映射”（Transition Maps）联系起来。这些映射是光滑的（可微的），使得我们可以从一个局部坐标系切换到另一个局部坐标系，而不会出现“断裂”或“不连续”。这正是描述时空从一个区域过渡到另一个区域，以及时空如何“弯曲”连接的方式。
3. 几何与物理的统一： 广义相对论的核心思想是将引力描述为时空几何的弯曲。物质和能量的存在会“弯曲”周围的时空，而物体（比如行星）的运动，则是在这个弯曲时空中遵循“最直”路径（称为测地线）的表现。
度规张量（Metric Tensor）： 在流形上，我们可以定义一个度规张量。这个张量是描述时空几何的最基本工具。它告诉我们如何在时空中测量距离和时间间隔，以及如何计算两点之间的“最短”路径。在弯曲时空中，这个度规张量不再是简单的欧几里得距离公式，而是包含着时空弯曲的信息。
爱因斯坦场方程： 爱因斯坦场方程正是连接物质/能量分布（由能量动量张量描述）和时空几何（由度规张量描述）的桥梁。方程左边描述的是时空的几何性质（它有多弯曲），右边描述的是时空中的物质和能量（是什么导致了弯曲）。正是流形提供的几何框架，使得这种描述成为可能。
4. 处理复杂的时空： 宇宙并不是简单的平坦空间，它包含了复杂的物质分布，并且可能会出现黑洞、虫洞等极端情况。流形提供了一种足够灵活和强大的数学语言，能够描述这些复杂的、非欧几里得的几何结构。
总结来说：
广义相对论选择流形，是因为：
等效原理暗示了引力与时空几何的关联： 引力不再是作用在物体上的力，而是物体“改变”了时空的形状。
流形能够精确描述这种“弯曲”： 它允许我们在局部使用熟悉的平坦几何，同时又能描述全局的非欧几里得性质，并且保证了这种过渡的平滑性。
流形为几何量（如度规张量）的定义提供了框架： 这些几何量是描述引力效应（即时空弯曲）的关键。
流形的数学框架使得爱因斯坦场方程得以建立： 这个方程成功地统一了物质、能量和时空几何，提供了对引力现象的深刻解释。
可以说，流形是广义相对论的“画布”，它为爱因斯坦描绘宇宙引力图景提供了必不可少的数学语言和结构。没有流形，广义相对论将难以想象。
引力的 Newtonian 困境：
在爱因斯坦之前，牛顿的万有引力定律统治着我们对引力的理解。牛顿认为引力是一种瞬时作用的力，两个有质量的物体之间存在一种“超距作用”，无论它们相距多远，引力都能立即传递。然而，这种观点在物理学上存在一些根本性的难题：
1. 瞬时作用 vs. 光速限制： 狭义相对论已经证明，任何信息（包括引力作用）的传递速度都不能超过光速。牛顿的瞬时作用与此直接冲突。如果太阳突然消失，地球将瞬间感受到引力变化，这在相对论框架下是不可能的。
2. 引力的本质： 牛顿定律描述了引力的“是什么”（即引力的数学形式），但没有解释引力“为什么”存在，它的物理本质是什么。引力似乎凭空存在，作用于所有有质量的物体。
3. 运动的参考系： 牛顿的理论是在一个绝对的、平直的空间和均匀流逝的时间框架下建立的。然而，当我们将引力效应考虑进去时，会发现“惯性参考系”（即不受外力作用、匀速直线运动的参考系）的概念变得模糊。例如，一个自由落体中的宇航员，他感觉自己处于一种“无重力”状态，尽管地球的引力作用在他身上。
爱因斯坦的革命性思想：等效原理
爱因斯坦在构建广义相对论时，从一个革命性的物理原理出发——等效原理（Equivalence Principle）。这个原理可以粗略地表述为：
引力等效于加速度： 在局部范围内，引力效应与加速度效应是无法区分的。
想象一下，你身处一个封闭的电梯里。如果电梯静止在地球上，你会感受到向下的引力。但如果电梯在无引力的太空中以 $9.8 m/s^2$ 的加速度向上加速，你也会感受到一个同样大小的向下“推”力，仿佛你被压在了电梯底部。这两个情境在电梯内部的物理体验上是完全一样的。
等效原理的深远意义在于，它将引力从一种“力”的概念，转化为时空几何的弯曲。如果引力可以被加速所模仿，而加速度又与物质的存在有关，那么引力本身就不是一种外加的“力”，而是物质对它周围时空几何性质的改变所产生的表现。
为什么需要“流形”来描述弯曲的时空？
现在我们回过头来，看看为什么“流形”是描述这种弯曲时空的理想工具：
1. 局部平坦性： 宇宙的真实几何可能是弯曲的，但我们在日常生活中的体验，以及我们在相对较小的区域内进行的物理实验，都发现时空近乎平坦，就像我们熟悉的欧几里得几何一样。流形这个数学概念的核心特征就是局部平坦性。这意味着，任何一个足够小的区域，都可以用我们熟悉的欧几里得空间（或者在狭义相对论中是闵可夫斯基时空）来近似描述。就像地球表面看起来是平的，但它实际上是一个球体。在局部，我们可以用平坦的坐标系来描述。
2. 全局弯曲的描述： 虽然局部是平坦的，但不同局部之间的连接方式，以及全局的几何性质，却是可以弯曲的。流形提供了一种数学框架，可以“粘合”这些局部的平坦片，形成一个在整体上可能是弯曲的、但处处都“光滑”的整体。
坐标系： 在一个流形上，我们可以定义多个局部坐标系。在每个局部区域，坐标系都像我们熟悉的笛卡尔坐标系一样工作。
过渡映射： 关键在于，这些局部坐标系之间可以通过“过渡映射”（Transition Maps）联系起来。这些映射是光滑的（可微的），使得我们可以从一个局部坐标系切换到另一个局部坐标系，而不会出现“断裂”或“不连续”。这正是描述时空从一个区域过渡到另一个区域，以及时空如何“弯曲”连接的方式。
3. 几何与物理的统一： 广义相对论的核心思想是将引力描述为时空几何的弯曲。物质和能量的存在会“弯曲”周围的时空，而物体（比如行星）的运动，则是在这个弯曲时空中遵循“最直”路径（称为测地线）的表现。
度规张量（Metric Tensor）： 在流形上，我们可以定义一个度规张量。这个张量是描述时空几何的最基本工具。它告诉我们如何在时空中测量距离和时间间隔，以及如何计算两点之间的“最短”路径。在弯曲时空中，这个度规张量不再是简单的欧几里得距离公式，而是包含着时空弯曲的信息。
爱因斯坦场方程： 爱因斯坦场方程正是连接物质/能量分布（由能量动量张量描述）和时空几何（由度规张量描述）的桥梁。方程左边描述的是时空的几何性质（它有多弯曲），右边描述的是时空中的物质和能量（是什么导致了弯曲）。正是流形提供的几何框架，使得这种描述成为可能。
4. 处理复杂的时空： 宇宙并不是简单的平坦空间，它包含了复杂的物质分布，并且可能会出现黑洞、虫洞等极端情况。流形提供了一种足够灵活和强大的数学语言，能够描述这些复杂的、非欧几里得的几何结构。
总结来说：
广义相对论选择流形，是因为：
等效原理暗示了引力与时空几何的关联： 引力不再是作用在物体上的力，而是物体“改变”了时空的形状。
流形能够精确描述这种“弯曲”： 它允许我们在局部使用熟悉的平坦几何，同时又能描述全局的非欧几里得性质，并且保证了这种过渡的平滑性。
流形为几何量（如度规张量）的定义提供了框架： 这些几何量是描述引力效应（即时空弯曲）的关键。
流形的数学框架使得爱因斯坦场方程得以建立： 这个方程成功地统一了物质、能量和时空几何，提供了对引力现象的深刻解释。
可以说，流形是广义相对论的“画布”，它为爱因斯坦描绘宇宙引力图景提供了必不可少的数学语言和结构。没有流形，广义相对论将难以想象。
网友意见
回答这个问题首先要知道，什么是流形？这里引用我上微分流形课的时候老师说的第一句话：
流形局部像平直Euclid空间，在其中可以做微积分。
然后要知道，广义相对论的目标是什么？是尝试构建一个大尺度上的引力理论。首先，既然信号传播速度（光速）有限，我们相信物理是局域的，当然考虑对时空的局部描述。然后，大尺度上我们的描述总是粗粒化的，不用担心时空在微观上会不会因为剧烈的量子涨落成为破碎的分形，不妨看成一个连续的，光滑的，可以做微积分的结构。当然，也许将来涉及微观的量子引力理论，代数结构比几何或拓扑结构更适用。相关讨论也见
也可以从科学史的角度看这个问题：我们的数学是从简单的线性结构发展起来的，我们更熟悉 这样的线性空间。微积分也是在以直代曲，找线性的结构，同时它也是Newton引力理论的基础。那么二十世纪初的新引力理论采用以直代曲来描述弯曲空间的微分几何理论，就像呼吸一样自然。
这样的想法在二十世纪的物理中处处可见，例如
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