三次方程怎么求解？
求解三次方程：一条通往未知的探险之路
对于那些曾在数学的海洋中探索的灵魂来说，三次方程无疑是一座充满挑战的岛屿。不同于一次或二次方程那般直观的解答方式，三次方程的求解更像是一次寻宝之旅，需要耐心、智慧，以及一套精妙的工具。今天，我们就来一起揭开三次方程神秘的面纱，踏上这条求解之路。
首先，让我们明确我们面对的是什么。一个标准的三次方程通常可以表示为：
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$$
其中 $a, b, c, d$ 都是常数，并且 $a eq 0$（否则它就不是三次方程了）。我们的目标就是找到那个能够让这个等式成立的 $x$ 值，它们被称为方程的根。一个三次方程最多可以有三个实根，当然也可能包含复数根。
第一步：简化方程——把复杂变简单
在正式开始求解之前，一个很重要的预处理步骤是简化方程。如果 $a eq 1$，我们可以将方程两边同时除以 $a$，这样我们就得到了一个系数为 1 的标准形式：
$$x^3 + frac{b}{a}x^2 + frac{c}{a}x + frac{d}{a} = 0$$
为了方便后续的讨论，我们通常会重新命名这些系数，使其看起来更简洁：
$$x^3 + px^2 + qx + r = 0$$
第二步：引入“升降级”大法——消去二次项
接下来的关键一步是消除 $x^2$ 项。这听起来有些不可思议，但我们可以通过一个巧妙的“换元”来实现。
我们设一个新变量 $y$，并令 $x = y frac{p}{3}$。为什么要这么做呢？让我们将这个代换代入到我们简化的三次方程中：
$$(y frac{p}{3})^3 + p(y frac{p}{3})^2 + q(y frac{p}{3}) + r = 0$$
展开这个表达式，你会发现一些项会神奇地抵消掉。具体来说：
$(y frac{p}{3})^3 = y^3 3y^2(frac{p}{3}) + 3y(frac{p}{3})^2 (frac{p}{3})^3 = y^3 py^2 + frac{p^2}{3}y frac{p^3}{27}$
$p(y frac{p}{3})^2 = p(y^2 2y(frac{p}{3}) + (frac{p}{3})^2) = py^2 frac{2p^2}{3}y + frac{p^3}{9}$
$q(y frac{p}{3}) = qy frac{pq}{3}$
将这些展开式代回原方程，并合并同类项：
$$(y^3 py^2 + frac{p^2}{3}y frac{p^3}{27}) + (py^2 frac{2p^2}{3}y + frac{p^3}{9}) + (qy frac{pq}{3}) + r = 0$$
观察 $y^2$ 的系数：$p + p = 0$！ 这正是我们想要的结果。
经过一番化简（可能需要耐心一点），我们最终会得到一个形式为：
$$y^3 + Ay + B = 0$$
的三次归并方程。这里的 $A$ 和 $B$ 是由原来的 $p, q, r$ 组合而成的，具体公式虽然有些繁琐，但它们是确定不变的。这个没有二次项的方程，是我们求解之路上的一个重要里程碑。
第三步：深入核心——卡尔达诺的解法揭秘
现在，我们来到了求解三次方程的核心——卡尔达诺（Cardano）的解法。这个方法可以追溯到十六世纪意大利的数学家们，虽然过程略显复杂，但它为我们提供了解决所有三次方程的通用途径。
对于我们上一步得到的归并方程 $y^3 + Ay + B = 0$，卡尔达诺的方法是引入两个新的变量 $u$ 和 $v$，并令 $y = u + v$。
将 $y = u + v$ 代入方程：
$$(u + v)^3 + A(u + v) + B = 0$$
展开 $(u + v)^3$：
$$u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 + A(u + v) + B = 0$$
重新整理一下：
$$u^3 + v^3 + (3uv + A)(u + v) + B = 0$$
现在，我们要做一个关键性的“约定”：令 $3uv + A = 0$。
这个约定看起来有些随意，但它能极大地简化我们的问题。根据这个约定，我们得到 $uv = frac{A}{3}$。
由于 $3uv + A = 0$，我们的方程就变成了：
$$u^3 + v^3 + B = 0$$
或者：
$$u^3 + v^3 = B$$
同时，我们还有 $uv = frac{A}{3}$。将这个等式两边立方，我们得到：
$$(uv)^3 = (frac{A}{3})^3$$
$$u^3v^3 = frac{A^3}{27}$$
现在，我们有了两个关于 $u^3$ 和 $v^3$ 的方程：
1. $u^3 + v^3 = B$
2. $u^3v^3 = frac{A^3}{27}$
将 $u^3$ 和 $v^3$ 看作是另一个二次方程的两个根。我们可以构建这样一个二次方程：
$$t^2 (u^3 + v^3)t + u^3v^3 = 0$$
将我们已知的值代入：
$$t^2 (B)t + (frac{A^3}{27}) = 0$$
$$t^2 + Bt frac{A^3}{27} = 0$$
这是一个标准的二次方程，我们可以使用二次方程的求根公式来求解 $t$：
$$t = frac{B pm sqrt{B^2 4(1)(frac{A^3}{27})}}{2}$$
$$t = frac{B pm sqrt{B^2 + frac{4A^3}{27}}}{2}$$
令 $Delta = B^2 + frac{4A^3}{27}$，被称为判别式。判别式的值将决定我们根的性质（实数或复数）。
那么，我们的 $u^3$ 和 $v^3$ 就是二次方程的两个根：
$$u^3 = frac{B + sqrt{Delta}}{2}$$
$$v^3 = frac{B sqrt{Delta}}{2}$$
现在，我们只需要取出 $u^3$ 和 $v^3$ 的立方根，就能得到 $u$ 和 $v$ 的值。这里需要注意的是，立方根有三个复数值，但由于我们是通过 $uv = frac{A}{3}$ 联系起来的，所以选择哪一个 $u$ 的立方根，就决定了与之对应的 $v$ 的立方根（需要满足乘积关系）。
一旦我们找到了 $u$ 和 $v$，我们就可以回到 $y = u + v$ 的关系，从而得到归并方程的根 $y$。
第四步：回到原点——求出 $x$ 的值
别忘了，我们最初是为了求解关于 $x$ 的方程而进行的这一系列操作。通过 $x = y frac{p}{3}$ 的关系，我们将求得的 $y$ 值代回去，就可以得到原三次方程的解 $x$。
通常情况下，我们会得到三个 $y$ 值（对应于 $u$ 的三个立方根，以及对应的 $v$），从而得到三个 $x$ 值，这就是我们三次方程的所有解。
小结与注意事项
卡尔达诺的解法虽然是通用的，但它在实践中可能显得有些繁琐，尤其是处理立方根和判别式时。
判别式 $Delta = B^2 + frac{4A^3}{27}$ 的作用：
如果 $Delta > 0$，则有一个实根和两个共轭复数根。
如果 $Delta = 0$，则有重根，所有根都是实数。
如果 $Delta < 0$，则有三个不同的实根。这时，我们虽然通过复数开立方的形式得到了表达式，但最终结果却是实数，这种情况被称为“不可约三次情形”，处理起来相对复杂一些，需要三角函数或更高级的方法来简化。
实际应用中的策略：
数值方法：在很多实际应用中，精确的解析解可能不是必需的，或者非常难以获得。这时，数值方法（如牛顿迭代法、二分法等）就变得非常有价值，它们可以快速而准确地逼近方程的根。
因式分解：如果方程的系数比较“友好”，或者我们能通过观察发现某个简单的整数根（例如，尝试 $x=1, 1, 2, 2, ...$），那么就可以通过因式分解来简化问题。找到一个根 $x_0$ 后，就可以将原方程除以 $(x x_0)$，从而将三次方程降为一个二次方程，然后用二次方程的求根公式解决。
求解三次方程是一次对数学工具的精妙运用，从简单的代数变换到复杂的根式运算，每一步都充满了智慧的闪光。虽然卡尔达诺的公式听起来复杂，但它揭示了三次方程解的普遍结构，是数学史上的一个重要里程碑。希望这次深入的探讨，能让你对如何求解三次方程有了更清晰的认识。
对于那些曾在数学的海洋中探索的灵魂来说，三次方程无疑是一座充满挑战的岛屿。不同于一次或二次方程那般直观的解答方式，三次方程的求解更像是一次寻宝之旅，需要耐心、智慧，以及一套精妙的工具。今天，我们就来一起揭开三次方程神秘的面纱，踏上这条求解之路。
首先，让我们明确我们面对的是什么。一个标准的三次方程通常可以表示为：
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$$
其中 $a, b, c, d$ 都是常数，并且 $a eq 0$（否则它就不是三次方程了）。我们的目标就是找到那个能够让这个等式成立的 $x$ 值，它们被称为方程的根。一个三次方程最多可以有三个实根，当然也可能包含复数根。
第一步：简化方程——把复杂变简单
在正式开始求解之前，一个很重要的预处理步骤是简化方程。如果 $a eq 1$，我们可以将方程两边同时除以 $a$，这样我们就得到了一个系数为 1 的标准形式：
$$x^3 + frac{b}{a}x^2 + frac{c}{a}x + frac{d}{a} = 0$$
为了方便后续的讨论，我们通常会重新命名这些系数，使其看起来更简洁：
$$x^3 + px^2 + qx + r = 0$$
第二步：引入“升降级”大法——消去二次项
接下来的关键一步是消除 $x^2$ 项。这听起来有些不可思议，但我们可以通过一个巧妙的“换元”来实现。
我们设一个新变量 $y$，并令 $x = y frac{p}{3}$。为什么要这么做呢？让我们将这个代换代入到我们简化的三次方程中：
$$(y frac{p}{3})^3 + p(y frac{p}{3})^2 + q(y frac{p}{3}) + r = 0$$
展开这个表达式，你会发现一些项会神奇地抵消掉。具体来说：
$(y frac{p}{3})^3 = y^3 3y^2(frac{p}{3}) + 3y(frac{p}{3})^2 (frac{p}{3})^3 = y^3 py^2 + frac{p^2}{3}y frac{p^3}{27}$
$p(y frac{p}{3})^2 = p(y^2 2y(frac{p}{3}) + (frac{p}{3})^2) = py^2 frac{2p^2}{3}y + frac{p^3}{9}$
$q(y frac{p}{3}) = qy frac{pq}{3}$
将这些展开式代回原方程，并合并同类项：
$$(y^3 py^2 + frac{p^2}{3}y frac{p^3}{27}) + (py^2 frac{2p^2}{3}y + frac{p^3}{9}) + (qy frac{pq}{3}) + r = 0$$
观察 $y^2$ 的系数：$p + p = 0$！ 这正是我们想要的结果。
经过一番化简（可能需要耐心一点），我们最终会得到一个形式为：
$$y^3 + Ay + B = 0$$
的三次归并方程。这里的 $A$ 和 $B$ 是由原来的 $p, q, r$ 组合而成的，具体公式虽然有些繁琐，但它们是确定不变的。这个没有二次项的方程，是我们求解之路上的一个重要里程碑。
第三步：深入核心——卡尔达诺的解法揭秘
现在，我们来到了求解三次方程的核心——卡尔达诺（Cardano）的解法。这个方法可以追溯到十六世纪意大利的数学家们，虽然过程略显复杂，但它为我们提供了解决所有三次方程的通用途径。
对于我们上一步得到的归并方程 $y^3 + Ay + B = 0$，卡尔达诺的方法是引入两个新的变量 $u$ 和 $v$，并令 $y = u + v$。
将 $y = u + v$ 代入方程：
$$(u + v)^3 + A(u + v) + B = 0$$
展开 $(u + v)^3$：
$$u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 + A(u + v) + B = 0$$
重新整理一下：
$$u^3 + v^3 + (3uv + A)(u + v) + B = 0$$
现在，我们要做一个关键性的“约定”：令 $3uv + A = 0$。
这个约定看起来有些随意，但它能极大地简化我们的问题。根据这个约定，我们得到 $uv = frac{A}{3}$。
由于 $3uv + A = 0$，我们的方程就变成了：
$$u^3 + v^3 + B = 0$$
或者：
$$u^3 + v^3 = B$$
同时，我们还有 $uv = frac{A}{3}$。将这个等式两边立方，我们得到：
$$(uv)^3 = (frac{A}{3})^3$$
$$u^3v^3 = frac{A^3}{27}$$
现在，我们有了两个关于 $u^3$ 和 $v^3$ 的方程：
1. $u^3 + v^3 = B$
2. $u^3v^3 = frac{A^3}{27}$
将 $u^3$ 和 $v^3$ 看作是另一个二次方程的两个根。我们可以构建这样一个二次方程：
$$t^2 (u^3 + v^3)t + u^3v^3 = 0$$
将我们已知的值代入：
$$t^2 (B)t + (frac{A^3}{27}) = 0$$
$$t^2 + Bt frac{A^3}{27} = 0$$
这是一个标准的二次方程，我们可以使用二次方程的求根公式来求解 $t$：
$$t = frac{B pm sqrt{B^2 4(1)(frac{A^3}{27})}}{2}$$
$$t = frac{B pm sqrt{B^2 + frac{4A^3}{27}}}{2}$$
令 $Delta = B^2 + frac{4A^3}{27}$，被称为判别式。判别式的值将决定我们根的性质（实数或复数）。
那么，我们的 $u^3$ 和 $v^3$ 就是二次方程的两个根：
$$u^3 = frac{B + sqrt{Delta}}{2}$$
$$v^3 = frac{B sqrt{Delta}}{2}$$
现在，我们只需要取出 $u^3$ 和 $v^3$ 的立方根，就能得到 $u$ 和 $v$ 的值。这里需要注意的是，立方根有三个复数值，但由于我们是通过 $uv = frac{A}{3}$ 联系起来的，所以选择哪一个 $u$ 的立方根，就决定了与之对应的 $v$ 的立方根（需要满足乘积关系）。
一旦我们找到了 $u$ 和 $v$，我们就可以回到 $y = u + v$ 的关系，从而得到归并方程的根 $y$。
第四步：回到原点——求出 $x$ 的值
别忘了，我们最初是为了求解关于 $x$ 的方程而进行的这一系列操作。通过 $x = y frac{p}{3}$ 的关系，我们将求得的 $y$ 值代回去，就可以得到原三次方程的解 $x$。
通常情况下，我们会得到三个 $y$ 值（对应于 $u$ 的三个立方根，以及对应的 $v$），从而得到三个 $x$ 值，这就是我们三次方程的所有解。
小结与注意事项
卡尔达诺的解法虽然是通用的，但它在实践中可能显得有些繁琐，尤其是处理立方根和判别式时。
判别式 $Delta = B^2 + frac{4A^3}{27}$ 的作用：
如果 $Delta > 0$，则有一个实根和两个共轭复数根。
如果 $Delta = 0$，则有重根，所有根都是实数。
如果 $Delta < 0$，则有三个不同的实根。这时，我们虽然通过复数开立方的形式得到了表达式，但最终结果却是实数，这种情况被称为“不可约三次情形”，处理起来相对复杂一些，需要三角函数或更高级的方法来简化。
实际应用中的策略：
数值方法：在很多实际应用中，精确的解析解可能不是必需的，或者非常难以获得。这时，数值方法（如牛顿迭代法、二分法等）就变得非常有价值，它们可以快速而准确地逼近方程的根。
因式分解：如果方程的系数比较“友好”，或者我们能通过观察发现某个简单的整数根（例如，尝试 $x=1, 1, 2, 2, ...$），那么就可以通过因式分解来简化问题。找到一个根 $x_0$ 后，就可以将原方程除以 $(x x_0)$，从而将三次方程降为一个二次方程，然后用二次方程的求根公式解决。
求解三次方程是一次对数学工具的精妙运用，从简单的代数变换到复杂的根式运算，每一步都充满了智慧的闪光。虽然卡尔达诺的公式听起来复杂，但它揭示了三次方程解的普遍结构，是数学史上的一个重要里程碑。希望这次深入的探讨，能让你对如何求解三次方程有了更清晰的认识。
网友意见
当然最简单粗暴的方法就求根公式了，但是普通的求根公式太难记了，所以我们可以用两个中间变量来简化一下，对于一般的三次方程：
首先把它化简成下面的形式：
其中：
然后就可以套公式了
如果嫌分数太丑，可以这么规定:
， ，
于是
再令 有
嫌太枯燥，没问题，还有几何意义强的（限于3个实根的情况）。
当 时，令 ，于是：
图示如下：
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